错误博物馆

病因　$a=2$ 时两个元素 $a+2$ 和 $a^2$ 都等于 $4$，写出来是 $\{4,4\}$——集合的元素必须互不相同，这根本不是一个两元素集合。

「含参数的集合，解完一定代回去看元素是否互异」

病因　$\varnothing$ 一个元素也没有；$\{\varnothing \}$ 有一个元素，这个元素恰好是空集。就像空盒子和“装着一个空盒子的盒子”。

「先数元素个数，再谈相不相等」

病因　取 $A=B=C=\{1\}$：左边 $B\setminus C=\varnothing$，所以左边是 $\{1\}$；右边 $A\setminus B=\varnothing$，再减还是 $\varnothing$。两边在 $A\cap B\cap C$ 这一块上不一样。

「只有并和交才能随便挪括号，差不行」

病因　一个元素不在 $A\cap B$ 里，只说明它至少缺一个：可能在 $A$ 里不在 $B$ 里。比如 $U=\{1,2\}$，$A=\{1\}$，$B=\{2\}$：左边是 $U$，右边是 $\varnothing$。

「补集进括号，交并要对调」

病因　$2^n$ 个子集里，要去掉的有两个：空集（不是非空的）和全集本身（不是真子集）。

「排除几个，就点名几个」

病因　不同的子集可以有相同的和：$\{1,4\}$ 和 $\{2,3\}$ 的和都是 $5$。这个对应是“多对一”的，两边个数并不相等（子集实际有 $16$ 个）。

「只有一一对应，才能把数这边换成数那边」

病因　$16$ 种涂法里有两种是“全涂一种颜色”，这时另一类是空集。分划要求每一块非空，这两种不算。

「分划的每一块都不能是空的」

病因　两个组可能有人同时参加。“数学组”“物理组”不是分划：两块有交集，同时参加的人被数了两次。

「先确认两两不交，再用加法原理」

病因　反例：$\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}$ 加上全部 $4$ 个三元子集和 $\{1,2,3,4\}$，共 $8$ 个，两两相交（三元子集只缺一个元素，和任何二元子集都相交），却没有一个元素被所有成员共有。

「达到上界的构造往往不唯一」

病因　同一层确实互不包含，可各层大小不同：$1$ 元子集只有 $5$ 个，$2$ 元子集有 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 个。

「要取最宽的那一层」

病因　能推出的是 $5-3=2$，$3-2=1$，进而所有整数都在 $S$ 里，即 $S\supseteq \mathbf{Z}$。可题目没说 $S$ 只含整数：$S=\mathbf{R}$ 也对减法封闭，也含 $3$ 和 $5$。

「推出来的是下界，不是全部」

病因　$a=\frac{1}{1-a}$ 化为 $a^2-a+1=0$，判别式 $1-4<0$，没有实数解。所以实数集 $S$ 里，$a$ 和 $\frac{1}{1-a}$ 一定是两个不同的元素。

「想让规则“原地踏步”，先解方程看看」

病因　$x=0$ 和 $x=2$ 不属于任何一类，这是“漏”。而这个方程恰好在 $0\le x\le 2$ 上处处成立，两个端点也都是解，漏掉它们答案就错了。

「不漏：各类的并是全体；不重：两两不交」

病因　$6,12,18$ 既是偶数又是 $3$ 的倍数，被算了两次；而 $1,5,7,\dots$ 哪一类都不在。这不是分划。

「一次分类，只用一个标准」

病因　$S$ 没有最小元素：任取 $m>0$，$\frac{m}{2}$ 更小。最小数原理说的是有限非空实数集，或者自然数的非空子集，才一定有最小元素。

「先确认“最”的那个存在，再去取它」

病因　$B$ 赢了 $A$，只说明 $B$ 赢了一场 $A$ 没赢的比赛；$A$ 可能也赢了很多 $B$ 没赢的。而且胜场最多的人可能有好几个并列。

「用“没有人更大”，不要偷换成“它比别人都大”」

病因　看正中间那块 $A\cap B\cap C$：前三项把它数了 $3$ 次，后三项又减了 $3$ 次，结果是 $0$ 次——它被漏掉了。

「减多了要加回来，一直到每块恰好一次」

病因　$6,12,\dots ,30$ 这 $5$ 个数既是 $2$ 的倍数又是 $3$ 的倍数，被减了两次。实际上 $1,5,7,11,13,17,19,23,25,29$ 共 $10$ 个。

「求补集，先把并集算对」

病因　做选择的是 $A$ 中的元素：每个元素各自从 $B$ 的 $3$ 个元素里挑一个像，一共挑 $2$ 次，所以是 $3\times 3$，不是 $2\times 2\times 2$。

「谁在做选择，谁就是指数」

病因　映射要求 $A$ 中每个元素有唯一确定的像。这里 $1$ 同时对应 $3$ 和 $4$，不唯一。

「A 这边一个都不能漏，一个都不能多；B 这边随意」

病因　新图象上横坐标为 $x$ 的点，高度等于旧图象上横坐标为 $x+1$ 的点的高度。也就是说，旧图象在 $x+1$ 处的样子，现在出现在 $x$ 处——整体往左挪了 $1$。

「写成 f(x − h) 再读 h」

病因　那是 $y=|f(x)|$：绝对值套在函数值上，管的是上下。$f(|x|)$ 的绝对值套在自变量上，$x$ 和 $-x$ 函数值相同，它是偶函数：保留 $y$ 轴右边的部分，左边换成右边的镜像。

「绝对值套在谁身上，就对谁动手」

病因　$f(x)=\frac{1}{x}$ 是奇函数，但 $0$ 不在定义域里，图象根本不过原点。“$f(0)=0$”要以 $0$ 在定义域内为前提。

「用 f(0) 之前，先问 0 在不在定义域里」

病因　化简时丢掉了定义域的限制：原函数要求 $x\ne 1$，而 $x=-1$ 在定义域里，$1$ 却不在。定义域不关于原点对称，谈不上奇偶。

「定义域不对称，奇偶免谈」

病因　取 $x_1=-1<x_2=1$，$f(-1)=-1<f(1)=1$，右边反而更高。单调性要求区间里任意两点都满足，跨过 $0$ 的点对就破坏了它。

「单调区间不能随手并起来」

病因　三个点说明不了中间发生了什么：$f(x)=(x-1.2{)}^2$ 满足 $f(1)=0.04<f(2)=0.64<f(3)=3.24$，却在 $[1,1.2]$ 上递减。

「举例只能否定，证明要靠任意」

病因　平移 $2$ 后图象没有和自己重合，而是上下翻了个面。周期要求 $f(x+T)=f(x)$，这里多了一个负号。

「翻两次面才回到原样」

病因　常数函数 $f(x)=c$ 以任何正数为周期，正周期没有最小的。狄利克雷函数（$x$ 为有理数时取 $1$，为无理数时取 $0$）以任何正有理数为周期，也没有最小正周期。

「有周期，不等于有最小正周期」

病因　$f(1)>0$ 只说明 $1$ 不在两根之间：两根可以都在 $1$ 的右边，也可以都在左边。这里两根是 $-1$ 和 $-3$，都在左边。

「端点符号只分“同侧”和“异侧”，在哪一侧要看对称轴」

病因　$\Delta =9-12<0$，根本没有实根。抛物线整个浮在 $x$ 轴上方，端点和对称轴的条件都满足，却没有根可放。

「先问有没有根，再问根在哪」

病因　真数必须为正：$x^2-2x-3>0$，即 $x<-1$ 或 $x>3$。区间 $[-1,1)$ 里的点根本不在定义域内，比如 $x=0$ 时真数是 $-3$。

「对数先管真数，再谈单调」

病因　$x+\frac{4}{x}\ge 4$ 的等号在 $x=2$ 时成立，而 $2\notin [3,6]$。在这个区间上，函数值始终大于 $4$，$4$ 不是最小值。

「用均值不等式求最值，先问等号取不取得到」

病因　等号要求 $\sqrt{x^2+5}=1$，不可能。令 $t=\sqrt{x^2+5}$，则 $t\ge \sqrt{5}>1$，在 $t+\frac{1}{t}$ 的递增段上。

「换元之后，先写出新变量的范围」

病因　$x+\frac{9}{x}=6$ 要在 $x=3$ 时才成立，可 $3$ 不在 $[1,2]$ 里。$6$ 只是一个下界，没有被取到，不是最小值。

「写“最小值”之前，先找到取等的那个 $x$」

病因　$y=2$ 时方程变成 $0\cdot x^2+0\cdot x+3=0$，根本没有解。$\Delta$ 只对二次方程有意义，$\Delta =0$ 在这里什么也说明不了。

「判别式法的最后一步：二次项系数为 0 的那个值单独检验」

病因　“看两端就够”只对一次函数成立：线段夹在两个端点之间。$h$ 是开口向上的抛物线，中间会凹下去：$h\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}<0$。

「端点法的前提是“一次”或“单调”」

病因　$f(t)=t^3-t$ 在 $\mathbb{R}$ 上不单调，$f(0)=f(1)=f(-1)=0$，不同的自变量可以有相同的值。比如 $x=0$ 时 $f(1)+f(0)=0$，也是解。

「奇函数让两边对上号，单调性才让自变量相等」

病因　$f^{(3)}(x)$ 是复合三次：$f(f(f(x)))=((x^2{)}^2{)}^2=x^8$。$[f(x){]}^3$ 是函数值的乘方，两者是完全不同的运算。

「迭代是“再做一次”，不是“再乘一次”」

病因　前三项符合一个公式，并不等于每一项都符合。“看出规律”只是猜，还缺证明。

「猜出来的公式，要么归纳证，要么换一种能直接推出的方法」

病因　$a_n$ 是 $1,3,7,15,\dots$，一路增大到无穷，根本没有极限。解 $L=f(L)$ 只是说：如果有极限，它只能是不动点。

「不动点只是“候选人”，轨道去不去那里要另外证」

病因　$x$ 可正可负，$t=x^2$ 却只能非负，而且 $x=\pm \sqrt{t}$ 两个都要满足。取 $x=2$ 得 $f(4)=3$，取 $x=-2$ 得 $f(4)=-1$——矛盾。

「代换要可逆，范围要写清」

病因　消元只证明了“如果 $f$ 满足原方程，那么 $f$ 只能是这个式子”——这是必要条件。有时式子在某些点无定义，或根本不满足原方程。

「消元给出候选，代回才算答案」

病因　$f(0)=0$ 和“偶函数”只是必要条件，满足它们的函数多得是（比如 $f(x)=x^4$），而 $x^4$ 并不满足原方程；反过来 $f(x)=3x^2$ 也满足原方程。赋值本身推不出“$f(x)=x^2$”。

「赋值给出线索，不直接给出答案」

病因　方程只把有理数点“串”在一起，$\sqrt{2}$ 这样的无理数，用有限次加减和整数倍永远得不到。没有附加条件时，确实存在不是 $cx$ 的解（只是写不出来）。

「从 ℚ 到 ℝ 的那一级，要靠额外的条件」

病因　$c_1\cdot 2^n+c_2\cdot 2^n=(c_1+c_2)2^n$，实际上只有一个待定常数，配不上 $f(1)$、$f(2)$ 两个初值。比如 $f(1)=2$、$f(2)=12$ 时，$2c=2$ 与 $4c=12$ 矛盾。

「两个初值，就要两个独立的待定常数」

病因　${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 只告诉你 ${\cos }^2\alpha =\frac{144}{169}$，开方有正负两个值。$\sin \alpha >0$ 的角可以在第一象限，也可以在第二象限——单位圆上和直线 $y=\frac{5}{13}$ 相交的点有两个。

「平方关系只管大小，符号要问单位圆」

病因　$90^{\circ }$ 的终边 $OP$ 竖直向上，与切线 $x=1$ 平行，根本交不到正切线上：$\tan 90^{\circ }$ 没有定义，不是“无穷大这个数”。而且从 $91^{\circ }$ 那一侧逼近时，正切线朝下，$\tan$ 趋向负的方向。

「没有交点，就没有函数值」

病因　平移是对自变量 $x$ 本身加减。把 $y=\sin 2x$ 向左平移 $a$，得到的是 $y=\sin 2(x+a)=\sin (2x+2a)$。要让 $2a=\frac{\pi }{3}$，只能 $a=\frac{\pi }{6}$。

「平移看 x 加了多少，先把 ω 提出来」

病因　$y=\sin 3x$ 在 $x=\frac{\pi }{6}$ 时就取到了 $y=\sin x$ 在 $\frac{\pi }{2}$ 才取到的最大值：同一个高度来得更早，图象是被压缩了。周期 $\frac{2\pi }{3}$ 比 $2\pi$ 短。

「ω 越大，波越密」

病因　$x⩾0$ 时它就是 $\sin x$，但 $x<0$ 时图象是右半边的镜像。取 $x=-\frac{\pi }{2}$：$f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=1$，而 $f\left(-\frac{\pi }{2}+2\pi \right)=\sin \frac{3\pi }{2}=-1$。一个反例就够了。

「周期要对所有 x 成立，推翻它只要一个 x」

病因　内层 $u=\frac{\pi }{4}-2x$ 是 $x$ 的减函数。$\sin u$ 增的时候，$y$ 随 $x$ 反而在减——解出来的恰好是减区间。

「先把 ω 变成正的，再“整体代换”」

病因　右边约等于 $1.207$，比 $1$ 还大，不可能是正弦值。图上看得很清楚：拼成 $P$ 的两段不是 $\sin \alpha$ 和 $\sin \beta$，而是各自又乘了一个余弦——$\cos \beta \sin \alpha$ 和 $\sin \beta \cos \alpha$。

「sin 不是乘法，括号不能直接拆」

病因　$\alpha$ 在 $(270^{\circ },360^{\circ })$，那么 $\frac{\alpha }{2}$ 在 $(135^{\circ },180^{\circ })$，是第二象限的角，余弦是负的。公式只算出了大小，符号要看 $\frac{\alpha }{2}$ 落在哪里。

「半角开方前，先把半角的范围算出来」

病因　余弦在 $(0^{\circ },90^{\circ })$ 上递减，$\cos 40^{\circ }>\cos 80^{\circ }$，差应该是正的。公式是 $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$，开头有个负号。图上看：$u-v$ 与角平分线垂直，平分线方向的 $\cos$ 转过 $90^{\circ }$ 就变成了 $-\sin$。

「四个公式只有“余减余”带负号」

病因　和差化积要求同名函数相加减：两个向量的投影必须投到同一根轴上。$\sin \alpha$ 是 $y$ 方向的投影，$\cos \beta$ 是 $x$ 方向的，不能直接拼成一条对角线。

「先化同名，再化积」

病因　展开 $2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$，正好差一个负号。$\tan \phi$ 只确定了直线方向，$\phi$ 还可能差 $\pi$。辅助角要满足 $\cos \phi =\frac{a}{R}$、$\sin \phi =\frac{b}{R}$ 两个条件：点 $(a,b)=(-1,\sqrt{3})$ 在第二象限。

「φ 看点 (a, b) 的方向，不只看斜率」

病因　$-2$ 要在 $x+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}$ 时取到，那时 $x=\frac{7\pi }{6}$，不在区间里。折线只允许转 $90^{\circ }$，斜边根本转不到竖直向下。

「合成之后，先求 x + φ 的范围」

病因　在 $(0^{\circ },180^{\circ })$ 内，正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的角有两个：$60^{\circ }$ 和 $120^{\circ }$。正弦定理只告诉你 $\sin B$，不告诉你 $B$ 是锐角还是钝角。这里 $b>a$，所以 $B>A$，两个角都不和 $A=30^{\circ }$ 冲突。

「由 $\sin$ 求角要问一句：钝角那一个行不行？」

病因　在 $(0,2\pi )$ 里正弦值相等的两个角，要么相等，要么互补。$2A$、$2B$ 都在 $(0,2\pi )$ 内，$2A+2B=\pi$ 也完全可能，比如 $A=30^{\circ }$、$B=60^{\circ }$。

「正弦相等，先想“相等或互补”」

病因　正切值相同的角相差 $\pi$ 的整数倍，只算出正切值还不能定角。$\arctan 2$、$\arctan 3$ 都在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 里，和在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 里，根本不可能是负角。

「先估角的范围，再由三角函数值定角」

病因　除以 $\sin x$ 默认了 $\sin x\ne 0$。可是 $\sin x=0$ 时方程两边都是 $0$，$x=k\pi$ 也是解，被悄悄扔掉了。

「含未知数的因式，只能提出来，不能约掉」

病因　正弦不是单调函数。$x=\pi$ 满足 $x>\frac{\pi }{6}$，可 $\sin \pi =0$；$x=-\frac{11\pi }{6}$ 不满足 $x>\frac{\pi }{6}$，却有 $\sin x=\frac{1}{2}$……都对不上。解集是一段一段的，而且每隔 $2\pi$ 重复一次。

「先在一个周期里画图，再加上周期」

病因　$\sqrt{1-x^2}$ 是非负的，而 $\sin t$ 可以是负数。只有限定 $t\in [0,\pi ]$，才有 $\sqrt{1-x^2}=\sin t$；不限定的话，$t$ 在下半圆时等式就错了，最小值 $-\sqrt{2}$ 根本取不到。

「代换要双向对应：x 取遍定义域，t 的范围恰好够用」

病因　$m=1$ 时 $z=0+0i=0$，它是实数，不是纯虚数。纯虚数要求实部为 0 且虚部不为 0，第二个条件被丢了。

「纯虚数 = 实部为零 + 虚部非零，两个条件缺一不可」

病因　$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ 只对 $a,b\ge 0$ 成立。负数的平方根要先写成 $i$ 的倍数：$\sqrt{-4}=2i$，$\sqrt{-9}=3i$。

「见到负数开方，先把 i 请出来再算」

病因　三角形式要求 $r>0$。模是长度，不可能是负数。前面的负号相当于再转 $180^{\circ }$。

「三角形式三个要求：r 为正，cos 在前，中间是加号」

病因　中间是减号，这不是三角形式。点 $(\cos 40^{\circ },-\sin 40^{\circ })$ 在第四象限，辐角是 $-40^{\circ }$ 加一圈。

「先改成标准的三角形式，再读辐角」

病因　两定点之间的距离是 $2$，而距离之和也等于 $2$。三角形两边之和大于第三边，只有 $P$ 落在线段上时才取等号，所以轨迹只是一条线段。

「先比较常数和两定点间的距离，再下结论」

病因　“$\Delta \ge 0$ 时有实根”是从实系数方程推出来的。系数里有 $i$ 时，判别式连“大于零”都谈不上。实际上 $x=2$ 代入：$4-4-2i+2i=0$，是一个实根。

「判别式只管实系数方程；虚系数方程先化虚为实」

病因　起点相同的两个向量相减，差是从减向量的终点指向被减向量的终点：$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ 从 $C$ 指向 $B$。验算一下：$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$。

「写完减法，用加法倒回去验一遍」

病因　向量加法要拼方向。$\vec{a},\vec{b}$ 同向时才是 $7$，反向时是 $1$，垂直时是 $5$。一般只有三角不等式：$||\vec{a}|-|\vec{b}||\le |\vec{a}+\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$。

「向量相加，长度一般不相加」

病因　$\vec{a}\cdot \vec{b}$ 只看 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的影子。影子相同的向量有无穷多个：$\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(2,1)$，$\vec{c}=(2,-5)$，内积都是 $2$。

「内积是一个数，丢掉了方向的信息，不能约分」

病因　$\vec{a}\cdot \vec{b}<0$ 只说明 $\cos \theta <0$，即 $90^{\circ }<\theta \le 180^{\circ }$。$\theta =180^{\circ }$（两向量反向）时内积也是负的，但那不是钝角。