平均值不等式的几个证明

一句话

平均值不等式： $a_{1}, \dots, a_{n}$ 是正实数，则

A = \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n} \geq n a_{1} a_{2} \dots a_{n} = G .

对 $n$ 归纳时，“从 $n$ 推到 $n + 1$ ”并不顺手：多出来的一个数和别的数凑不到一起。可是 “从 $n$ 推到 $2 n$ ”很顺： $2 n$ 个数分成两半，每半用一次归纳假设，再对两个平均数用一次 $n = 2$ 。于是换一条路走：

往上跳： $n = 2$ 成立， $n \Rightarrow 2 n$ ，所以对 $2, 4, 8, 16, \dots$ 都成立；
往回走：由 $n + 1$ 的情形推出 $n$ 的情形，把中间的空当一级级补上。

这就是 反向归纳法（倒推归纳法）：若 ① 命题对无穷多个 $n$ 成立，② 由 $P (n + 1)$ 能推出 $P (n)$ ，则命题对一切 $n$ 成立。

平均值不等式：先翻倍，再倒推

第 1 / 6 步

n = 2
两个数的情形就是一个平方： $(a - b)^{2} \geq 0$ ，展开即 $\frac{a + b}{2} \geq ab$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号。

$a + b - 2 ab = (a - b)^{2} \geq 0$
翻倍：n ⇒ 2n
梯子上亮了哪几级
往回补：n+1 ⇒ n
一步补到位
为什么这样就够了

先猜后证

要用 $16$ 个数的情形，直接推出 $11$ 个数的情形，需要在 $a_{1}, \dots, a_{11}$ 后面补几个数？补的是什么数？

补

5

个

1

补

5

个

A

（这

11

个数的平均数）补

5

个

G

（这

11

个数的几何平均）补

16

个

A

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 不等式：同一个结论，两种归纳

一题多解

证明： $n$ 个正数 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 的算术平均 $A$ 不小于几何平均 $G$ 。

直接 n ⇒ n+1：先调整，再归纳

设对 $n$ 个数成立，看 $n + 1$ 个数，平均数为 $A$ 。不妨 $a_{n} \leq A \leq a_{n + 1}$ （最小的不超过平均，最大的不小于平均）。

把 $a_{n}, a_{n + 1}$ 换成 $A$ 和 $a_{n} + a_{n + 1} - A$ ：和不变，而乘积

$A (a_{n} + a_{n + 1} - A) - a_{n} a_{n + 1} = (A - a_{n}) (a_{n + 1} - A) \geq 0$

不会变小。剩下的 $n$ 个数 $a_{1}, \dots, a_{n - 1}, a_{n} + a_{n + 1} - A$ 之和为 $(n + 1) A - A = n A$ ，平均数也是 $A$ 。由归纳假设它们的积 $\leq A^{n}$ ，所以

$a_{1} \dots a_{n + 1} \leq a_{1} \dots a_{n - 1} \cdot (a_{n} + a_{n + 1} - A) \cdot A \leq A^{n} \cdot A = A^{n + 1} .$

代价一步到位，但要想到“换掉最大的和最小的”。

翻倍 + 倒推（反向归纳法）

$n = 2$ ：一个平方。 $n \Rightarrow 2 n$ ：两半各用一次归纳假设，再对两个平均数用一次 $n = 2$ 。 $n + 1 \Rightarrow n$ ：补一个平均数 $A$ 。

n = 6

：补两个

A

凑成

8

个。改几个数，看几何平均怎样始终不超过

A

；什么时候两者相等？

代价每一步都机械，不用灵感；代价是要多走一个来回。

两种证法都要“凑”：一个凑出平均数不变的调整，一个凑出 $2^{k}$ 个数。共同点是让平均数 $A$ 保持不动。

第 2 站 · 函数：中点凸推出 n 点凸

同一套“翻倍 + 倒推”，可以原样搬到函数上。

例函数 $f$ 对任意实数 $x, y$ 满足 $f (\frac{x + y}{2}) \leq \frac{f ( x ) + f ( y )}{2}$ 。证明：对任意 $n$ 和任意 $x_{1}, \dots, x_{n}$ ，

f (\frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n}) \leq \frac{f ( x _{1} ) + \dots + f ( x _{n} )}{n} .

琴生不等式的反向归纳证明

第 1 / 4 步

n = 2
就是题目给的条件。

$f (\frac{x + y}{2}) \leq \frac{f ( x ) + f ( y )}{2}$
n ⇒ 2n
n+1 ⇒ n
整理

第 3 站 · 什么时候走不回来

反向归纳法的第 ② 条是真正的门槛：要能从大的情形“退化”出小的情形。平均值不等式能退，是因为可以补一个“不起作用”的数。如果退不了，只在无穷多个 $n$ 上成立的命题，就真的只在那些 $n$ 上成立。

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：命题对一切 $n$ 成立

平均值不等式： $P (2^{k})$ 都已证，补一个 $A$ 就能从 $n + 1$ 退到 $n$ 。按 ③，梯子全亮。

练一练

练习 1基础

正数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 6$ 。求 $ab c$ 的最大值。

练习 2基础

用“翻倍 + 一步补到位”证明 $19$ 个数的平均值不等式：最少要补几个数？

练习 3提高

求 $x + \frac{4}{x ^{2}}$ （ $x > 0$ ）的最小值。

练习 4挑战

设 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 是正数， $G = n x_{1} \dots x_{n}$ 。用反向归纳法证明 $(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) \dots (1 + x_{n}) \geq (1 + G)^{n}$ 。

一句话

平均值不等式：先翻倍，再倒推

第 1 站 · 不等式：同一个结论，两种归纳

直接 n ⇒ n+1：先调整，再归纳

翻倍 + 倒推（反向归纳法）

第 2 站 · 函数：中点凸推出 n 点凸

琴生不等式的反向归纳证明

第 3 站 · 什么时候走不回来

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

只证了 2 的幂，就说对一切 n 成立

补洞时补错了数