极坐标系

观察

在平面上取一个点 $O$ （极点），从它引一条射线 $O x$ （极轴），再定好长度单位和角的正方向（逆时针）。平面上一点 $P$ 的位置就可以用两个数说清楚： $∣ O P ∣ = ρ$ （极径），从 $O x$ 转到 $O P$ 的角 $θ$ （极角）。 $(ρ, θ)$ 叫做点 $P$ 的极坐标。

拖着 $P$ 绕 $O$ 慢慢转一圈。哪个数在变，哪个数不变？转回出发点时， $θ$ 是 $0$ 还是 $2 π$ ？
用滑块把 $θ$ 调到 $\frac{7 π}{3}$ （ $42 0^{\circ}$ ）。 $P$ 落在哪里？和 $θ = \frac{π}{3}$ 时比一比。
保持 $θ$ 不动，把 $ρ$ 从 $3$ 拉到 $- 3$ 。 $P$ 沿着哪条直线走？它最后停在什么位置？
打开“这个点的别的名字”。圈出来的几个位置有什么共同点？
把 $ρ$ 调到 $0$ ，再随便改 $θ$ 。 $P$ 动吗？

把极点放在原点、极轴放在 $x$ 轴的正半轴上，两套坐标就对上了。不管 $ρ$ 是正是负，都有

x = ρ cos θ, y = ρ sin θ,

反过来 $ρ^{2} = x^{2} + y^{2}$ ， $tan θ = \frac{y}{x} (x \neq = 0)$ 。前一组公式永远单值：给了极坐标，直角坐标只有一个；后一组要你自己挑： $ρ$ 取正还是负、 $θ$ 取哪一个，都得说清楚。

先猜后证

极坐标为 $(- 2, \frac{π}{3})$ 的点在第几象限？

第一象限第二象限第三象限第四象限

先选定答案，才能看到结论。

为什么

“一点多名”不是缺点，而是可以利用的自由。看一个具体的换算。

例：把直角坐标 (−2√3, 2) 化成极坐标

第 1 / 5 步

先求极径
$ρ^{2} = x^{2} + y^{2} = 12 + 4 = 16$ ，取 $ρ = 4$ 。 $P$ 一定在半径为 $4$ 的圆上，至于在圆上哪儿，要看角。

$ρ = (- 23)^{2} + 2^{2} = 4$
照搬反正切
看象限再取角
那个“错”角也能用
一点多名

这个自由在下一站会派上大用场：一条曲线的极坐标方程，往往只有某一个名字满足它，其他名字不满足——判断一个点在不在曲线上，要把它所有的名字都想到。

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：除极点外，每个点恰好只有一个极坐标

有了这个规定，拖动 $P$ 时读出的总是唯一的一对 $(ρ, θ)$ ：转满一圈， $θ$ 回到 $0$ ，而不是变成 $2 π$ 。

练一练

练习 1基础

点 $A$ 的极坐标是 $(6, \frac{4 π}{3})$ 。它的直角坐标中，横坐标 $x$ 是多少？

练习 2基础

把直角坐标 $(1, - 1)$ 化成极坐标，要求 $ρ > 0$ ， $0 \leq θ < 2 π$ 。若 $θ = k π$ ， $k$ 是多少？

练习 3提高

极坐标系中有两点 $P_{1} (2, \frac{π}{6})$ 、 $P_{2} (4, \frac{π}{2})$ 。求 $∣ P_{1} P_{2} ∣^{2}$ 。

练习 4挑战

$O$ 为极点， $A (3, \frac{π}{12})$ ， $B (- 4, \frac{17 π}{12})$ 。 $△ O A B$ 的面积是 $k 3$ ，求 $k$ 。

观察

为什么

例：把直角坐标 (−2√3, 2) 化成极坐标

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

直接用 $\theta=\arctan\dfrac yx$，不看象限

看到 $\theta$ 在第一象限，就以为点在第一象限