柯西不等式的变形和推广

观察

把三张卡片依次合并到只剩一张。最后那张卡片的分子和分母分别是原来的什么？
每次合并，总和的变化都是“不变或变小”。哪一次没变？那两张卡片的比值 $x_{i} / y_{i}$ 有什么关系？
拖动滑块，让三个比值全都相等。这时合并有损失吗？
切到“立方 / 平方”，再合并一遍。规律还在吗？

卡片合并说的就是柯西不等式的分式形式（也常叫权方和不等式的 $m = 1$ 情形）：对 $y_{i} > 0$ ，

\frac{x _{1} ^{2}}{y _{1}} + \frac{x _{2} ^{2}}{y _{2}} + \dots + \frac{x _{n} ^{2}}{y _{n}} \geq \frac{( x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n} ) ^{2}}{y _{1} + y _{2} + \dots + y _{n}},

当且仅当 $\frac{x _{1}}{y _{1}} = \frac{x _{2}}{y _{2}} = \dots = \frac{x _{n}}{y _{n}}$ 时等号成立。它就是柯西不等式取两组数 $\frac{x _{i}}{y _{i}}$ 与 $y_{i}$ ：它们的乘积是 $x_{i}$ ，平方分别是 $\frac{x _{i}^{2}}{y _{i}}$ 和 $y_{i}$ 。

先猜后证

卡片 $\frac{1 ^{2}}{1}, \frac{2 ^{2}}{1}, \frac{3 ^{2}}{2}$ 的总和是 $9.5$ 。全部合并成一张以后，值是多少？

先选定答案，才能看到结论。

为什么：两张卡片的合并

合并只会变小

第 1 / 6 步

先看两张
只看前两张卡片 $\frac{x _{1}^{2}}{y _{1}}$ 和 $\frac{x _{2}^{2}}{y _{2}}$ 。要证明：把它们合并成 $\frac{( x _{1} + x _{2} ) ^{2}}{y _{1} + y _{2}}$ ，值不会变大。

$\frac{x _{1}^{2}}{y _{1}} + \frac{x _{2}^{2}}{y _{2}} \geq \frac{( x _{1} + x _{2} ) ^{2}}{y _{1} + y _{2}} ?$
直接作差
损失看比值
一张一张并下去
全程不亏的条件
指数推广：权方和

一族亲戚

同一个想法换个写法，就是几个常用变形。每一个都是“选好两组数”的结果：

分式形式（上面那个）： $\sum \frac{x _{i}^{2}}{y _{i}} \geq \frac{( \sum x _{i} ) ^{2}}{\sum y _{i}}$ ， $y_{i} > 0$ 。
分子不是平方时： $a_{i}, b_{i} > 0$ ，把 $\frac{a _{i}}{b _{i}}$ 写成 $\frac{a _{i}^{2}}{a _{i} b _{i}}$ ，得 $\sum \frac{a _{i}}{b _{i}} \geq \frac{( \sum a _{i} ) ^{2}}{\sum a _{i} b _{i}}$ ，等号当且仅当 $b_{i}$ 全相等。
赫尔德不等式： $p, q > 1$ ， $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 时 $\sum a_{i} b_{i} \leq (\sum a_{i}^{p})^{1/ p} (\sum b_{i}^{q})^{1/ q}$ （ $a_{i}, b_{i} > 0$ ）。 $p = q = 2$ 就是柯西。
权方和不等式：上面最后一步，指数 $m + 1$ 与 $m$ 。

练一练

练习 1基础

正数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 2$ 。求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{4}{z}$ 的最小值。

练习 2基础

实数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 6$ 。求 $x^{2} + \frac{y ^{2}}{2} + \frac{z ^{2}}{3}$ 的最小值。

练习 3提高

正数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ 。求 $\frac{1}{x ^{2}} + \frac{8}{y ^{2}}$ 的最小值。

练习 4挑战

设 $a, b, c > 0$ 。证明 $\frac{a ^{2}}{b + c} + \frac{b ^{2}}{c + a} + \frac{c ^{2}}{a + b} \geq \frac{a + b + c}{2}$ 。

观察

为什么：两张卡片的合并

合并只会变小

一族亲戚

练一练

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分母有负数也照样合并

分子不是平方，也直接合并