三角函数的图象与变换

观察

只拖 $φ$ 。整条曲线左右平移，红点（ $sin x$ 的起点 $(0, 0)$ 的像）跟着走。它停在哪里？
把 $ω$ 改成 $1$ 再拖 $φ$ ，然后改成 $3$ 再拖。同样把 $φ$ 拖到 $\frac{π}{2}$ ，红点走的距离一样吗？
只拖 $ω$ ：周期读数怎么变？两个相邻的波峰离得更近还是更远？
把 $A$ 拖成负数，曲线发生了什么？蓝点（原来的最高点）跑到哪里去了？
拖 $k$ ：只有值域在变，周期和平移都不变。

一句话： $y = A sin (ω x + φ) + k$ 中， $A$ 管上下伸缩， $k$ 管上下平移， $ω$ 管左右伸缩，而左右平移的量是

- \frac{φ}{ω} （红点的横坐标）, T = \frac{2 π}{∣ ω ∣}, 值域 [k - ∣ A ∣, k + ∣ A ∣] .

$ω x + φ = 0$ 的那个 $x$ 就是“起点”——研究这类函数时，先把 $ω x + φ$ 看成一个整体，这是本章最常用的一招。

先猜后证

$y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，可以由 $y = sin 2 x$ 的图象怎样平移得到？

向左平移

\frac{π}{3}

向左平移

\frac{π}{6}

向右平移

\frac{π}{3}

向右平移

\frac{π}{6}

先选定答案，才能看到结论。

为什么：一步一步搭出来

下面从 $y = sin x$ 出发，搭出 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ 。淡绿色的粗线是目标，虚线是上一步的样子。

从 y = sin x 到 y = 2sin(2x + π/3) + 1

第 1 / 6 步

出发
$y = sin x$ ，红点是起点 $(0, 0)$ ，蓝点是最高点 $(\frac{π}{2}, 1)$ 。下面的每一步都看这两个点搬到了哪里。

$y = sin x$
先平移 φ
再横向压缩
纵向伸长，再上移
换个顺序：先伸缩
如果还平移 π/3

如果换了顺序

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：从 $y = sin x$ 出发，平移 $φ$ 就能得到 $y = sin (ω x + φ)$

先平移 $\frac{π}{2}$ ，再把横坐标变成 $\frac{1}{3}$ ：点到最后一步，红线和目标重合。

练一练

练习 1基础

函数 $y = 3 sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 的最小正周期是 $k π$ ，求 $k$ 。

练习 2基础

把 $y = sin 2 x$ 的图象向右平移 $a$ 个单位得到 $y = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象， $a = mπ$ （ $0 < a < π$ ），求 $m$ 。

练习 3提高

把 $y = sin x$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{3}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $y = sin (3 x + φ)$ （ $0 < φ < π$ ）的图象。 $φ = k π$ ，求 $k$ 。

练习 4挑战

函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （ $A > 0, ω > 0, ∣ φ ∣ < \frac{π}{2}$ ）的图象有一个最高点 $(\frac{π}{12}, 2)$ ，而它右侧与它相邻的零点是 $x = \frac{π}{3}$ 。 $φ = k π$ ，求 $k$ 。

观察

为什么：一步一步搭出来

从 y = sin x 到 y = 2sin(2x + π/3) + 1

如果换了顺序

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

平移量直接读括号里的常数

ω 变大，以为图象被拉宽