向量的加减法

观察

1. “首尾相接”：拖动 $\vec{a}$ 的终点，后面的 $\vec{b}$、$\vec{c}$ 被整体搬走了，但它们的长短方向没变。绿色的和变了吗？
2. 让绿色的和变成零向量。这时三个箭头围成了什么？
3. “平行四边形”：$\vec{a}$、$\vec{b}$ 从同一点出发，对角线就是 $\vec{a}+\vec{b}$。它和首尾相接的结果一样吗？
4. “减法”：$\vec{a}-\vec{b}$ 从哪个箭头的终点，指向哪个箭头的终点？
5. “数乘”：把 $\lambda$ 拖过 $0$，$\lambda \vec{a}$ 的方向怎么变？

向量是既有大小又有方向的量。大小叫模 $|\vec{a}|$；模为 $0$ 的是零向量 $\vec{0}$，模为 $1$ 的是单位向量。长度相等、方向相同的向量相等，不管画在哪里——所以向量可以随意平移。三条运算：

• 加法（三角形法则）：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$，首尾相接，从第一个起点指向最后一个终点；推广到多个向量就是多边形法则。
• 减法：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$；共起点时，$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$。
• 数乘：$\lambda \vec{a}$ 的模是 $|\lambda ||\vec{a}|$；$\lambda >0$ 同向，$\lambda <0$ 反向，$\lambda =0$ 时是 $\vec{0}$。

由此得到共线定理：$\vec{a}\ne \vec{0}$ 时，$\vec{b}\parallel \vec{a}⟺$ 存在唯一实数 $\lambda$ 使 $\vec{b}=\lambda \vec{a}$。

为什么：重心的向量刻画

$G$ 是 $△ABC$ 的重心。下面用加法的两种画法证明 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$。图里取 $A(-3,-2)$、$B(3,-2)$、$C(0,4)$，重心 $G$ 是原点，三个向量从同一点 $G$ 画出。

最后一行的一般公式这样来：$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA}$，三个式子相加，$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$ 那部分是 $\vec{0}$。

如果去掉一个条件

练一练