逐步调整法

一句话

一个多变量的问题，同时考虑所有变量太难。逐步调整的做法是：先固定其他变量，只动两个，看怎样动能让目标变好。

x_{i} + x_{j} 不变, ∣ x_{i} - x_{j} ∣ ↓ ⟹ x_{i}^{2} + x_{j}^{2} ↓, x_{i} x_{j} ↑

因为 $x_{i}^{2} + x_{j}^{2} = \frac{1}{2} [(x_{i} + x_{j})^{2} + (x_{i} - x_{j})^{2}]$ ， $x_{i} x_{j} = \frac{1}{4} [(x_{i} + x_{j})^{2} - (x_{i} - x_{j})^{2}]$ 。只要还有两个数“不够接近”，就能再改进一步；调整到不能再调的状态，就是最优状态。

先猜后证

$4$ 个正整数之和为 $20$ 。它们的平方和最小是多少？

先选定答案，才能看到结论。

例：x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 20（正整数），求平方和的最小值

第 1 / 4 步

只动两个
挑最大的 $9$ 和最小的 $1$ ，各向中间走一步： $9 \to 8$ ， $1 \to 2$ 。和不变。

$(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 (a - b - 1)$
变好了多少
继续调
停下的地方

第 1 站 · 平均值不等式的证明（卷六）

调整法给出平均值不等式最直观的证明之一，关键是让过程有限步结束。

例：正数 x₁, …, xₙ 的和为 nA，则 x₁x₂⋯xₙ ≤ Aⁿ

第 1 / 4 步

若不全等于 A
则最大的 $M > A$ ，最小的 $m < A$ 。

$m < A < M$
一次调整
乘积增大，且多了一个 A
至多 n − 1 步

第 2 站 · 求极值：拆数求最大乘积（卷六）

个数不固定时，调整的对象不只是“两个数靠拢”，还可以“拆开”或“合并”。

四个正整数、和为

20

：靠拢让乘积变大，最多到

5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625

。可是若个数不限，还能更大吗？

例：把 20 拆成若干个正整数之和，乘积最大是多少？

第 1 / 4 步

有 1 就并掉
$1 \cdot x < 1 + x$ ：把 $1$ 并到另一个数上，乘积变大。所以最优时没有 $1$ 。

$1 \cdot x \to x + 1$
大于 4 就拆开
2 不超过两个
答案

第 3 站 · 三角不等式（卷三）

一题多解

在 $△ A B C$ 中，证明 $sin A + sin B + sin C \leq \frac{3 3}{2}$ 。

逐步调整

$sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ ： $A + B$ 固定时， $∣ A - B ∣$ 越小和越大。若三角不全为 $6 0^{\circ}$ ，必有 $A < 6 0^{\circ} < B$ 。把 $A, B$ 换成 $6 0^{\circ}$ 和 $A + B - 6 0^{\circ}$ ：和不变，而 $∣6 0^{\circ} - (A + B - 6 0^{\circ}) ∣ < B - A$ ，所以 $sin A + sin B$ 增大。此时已有一个角是 $6 0^{\circ}$ ，另两角和为 $12 0^{\circ}$ ，再调一次就都是 $6 0^{\circ}$ 。所以最大值在正三角形取到： $3 sin 6 0^{\circ} = \frac{3 3}{2}$ 。

代价只用和差化积，至多两步调到正三角形。

琴生不等式

$sin x$ 在 $(0, π)$ 上上凸，所以 $\frac{sin A + sin B + sin C}{3} \leq sin \frac{A + B + C}{3} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 。

代价一行，但要先知道 sin x 在 (0, π) 上是上凸的。

第 4 站 · 排序与交换（卷一）

“取最优的那个方案，假如它还能交换改进……”——调整法和极端原理常常一起出现。

例：a₁ ≤ a₂ ≤ ⋯ ≤ aₙ，b₁ ≤ ⋯ ≤ bₙ。在 b 的所有排列中，Σ aᵢb_{σ(i)} 何时最大？

第 1 / 4 步

取一个最大的
排列只有有限个，必有一个让和最大的 $σ$ 。

$S (σ) = \sum a_{i} b_{σ (i)}$
找一个“逆序”
交换不会变差
调到同序

练一练

练习 1基础

$3$ 个正整数之和为 $20$ ，它们的平方和最小是多少？

练习 2基础

$5$ 个正整数之和为 $23$ ，它们的平方和最小是多少？

练习 3提高

若干个正整数之和为 $20$ （个数不限），它们乘积的最大值是多少？

练习 4挑战

若干个正整数之和为 $2026$ ，乘积最大时乘积等于 $2^{a} \cdot 3^{b}$ 。求 $a + b$ 。

一句话

例：x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 20（正整数），求平方和的最小值

第 1 站 · 平均值不等式的证明（卷六）

例：正数 x₁, …, xₙ 的和为 nA，则 x₁x₂⋯xₙ ≤ Aⁿ

第 2 站 · 求极值：拆数求最大乘积（卷六）

例：把 20 拆成若干个正整数之和，乘积最大是多少？

第 3 站 · 三角不等式（卷三）

逐步调整

琴生不等式

第 4 站 · 排序与交换（卷一）

例：a₁ ≤ a₂ ≤ ⋯ ≤ aₙ，b₁ ≤ ⋯ ≤ bₙ。在 b 的所有排列中，Σ aᵢb_{σ(i)} 何时最大？

练一练

错误博物馆 · 本站展品

调整没有终点

整数也往“全相等”调

这条线路经过的站