单位根及其应用

观察

方程 $x^{n} = 1$ 的 $n$ 个根叫 $n$ 次单位根：

ε_{k} = cos \frac{2 k π}{n} + i sin \frac{2 k π}{n} = ε_{1}^{k}, k = 0, 1, \dots, n - 1.

它们是单位圆内接正 $n$ 边形的顶点，并且

$∣ ε_{k} ∣ = 1$ ， $\overline{ε_{k}} = ε_{k}^{- 1} = ε_{n - k}$ ， $ε_{j} ε_{k} = ε_{j + k}$ （下标按模 $n$ 算）；
$x^{n} - 1 = (x - ε_{0}) (x - ε_{1}) \dots (x - ε_{n - 1})$ ；
幂和： $k = 0 \sum n - 1 ε_{k}^{m} = {n, 0, n ∣ m n ∤ m$

$n = 3$ 时记 $ω = ε_{1} = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ ，于是 $ω^{3} = 1$ ， $1 + ω + ω^{2} = 0$ ， $\overset{ω}{ˉ} = ω^{2}$ 。

先猜后证

$ε_{0}, ε_{1}, \dots, ε_{4}$ 是 $5$ 个 $5$ 次单位根。 $ε_{0}^{10} + ε_{1}^{10} + \dots + ε_{4}^{10}$ 等于多少？

0

1

5

10

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

记下这个和
设 $S = ε_{0} + ε_{1} + \dots + ε_{5}$ 。图上它的链条闭合，但我们要一个对所有 $n$ 都成立的理由。

$S = k = 0 \sum n - 1 ε_{k}$
整体转一格
于是 S = 0
换成 m 次幂
例外

$(1 + x)^{N}$ 的系数是组合数。想求下标是 $3$ 的倍数的那些组合数之和，可以把 $x = 1, ω, ω^{2}$ 依次代入再相加： $1 + ω^{i} + ω^{2 i}$ 在 $3 ∣ i$ 时是 $3$ ，否则是 $0$ ——幂和公式替我们把不要的项“滤掉”了。

第 1 / 4 步

要加哪几个
$(1 + x)^{6}$ 的系数是 $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ 。下标是 $3$ 的倍数的是 $x^{0}, x^{3}, x^{6}$ ，直接相加得 $22$ 。我们换一种算法。

$(0 6) + (3 6) + (6 6) = ?$
代入三个立方根
为什么这样就滤出来了
除以 3

Break it

结论： $\sum_{k = 0}^{n - 1} ε_{k}^{m} = 0$

$n = 8$ 。 $m$ 取 $1$ 到 $7$ 中任何一个，链条都闭合； $m = 2, 4, 6$ 时有的点被重复落到，但仍然对称地分布在圆上。

练习 1基础

$ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ 。求 $ω^{2026} + ω^{2027}$ 。

练习 2基础

$ε = cos \frac{2 π}{7} + i sin \frac{2 π}{7}$ 。求 $ε + ε^{2} + \dots + ε^{6}$ 。

练习 3提高

求 $(0 9) + (3 9) + (6 9) + (9 9)$ 。

练习 4挑战

$ε = cos \frac{2 π}{5} + i sin \frac{2 π}{5}$ 。求 $(1 - ε) (1 - ε^{2}) (1 - ε^{3}) (1 - ε^{4})$ 。