曲线与方程的对应关系

观察

“曲线 $C$ 的方程是 $F (x, y) = 0$ ”，要求两件事都对：

右边的工具里，小圆点是机构“真正”造出来的轨迹点，虚线是某人推出来的方程。 $Q$ 是你的试验点，两个读数分别检查“满足条件吗”“满足方程吗”。

先猜后证

过 $P_{0} (4, 0)$ 的直线截圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 得到弦，弦中点的轨迹在圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 上。它占这个圆的多少？

整个圆半个圆三分之一个圆除去

P_{0}

的整个圆

先选定答案，才能看到结论。

求轨迹的标准流程是：建系设点 → 列条件 → 化成方程 → 检验。最后一步就是检查纯粹性与完备性，下面完整走一遍。

第 1 / 5 步

找条件
弦的中点和圆心的连线垂直于弦： $O M ⊥ M P_{0}$ 。所以 $∠ O M P_{0} = 9 0^{\circ}$ ， $M$ 在以 $O P_{0}$ 为直径的圆上。

$O M \cdot P_{0} M = 0$
化成方程
完备吗？
纯粹吗？
去掉多余的部分

注意最后的范围是从“条件”里挖出来的，不是从方程里——方程自己不知道已知圆的存在。这正是纯粹性需要单独检查的原因。

练习 1基础

$A (0, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 。满足 $P A ⊥ P B$ 的点 $P$ 的轨迹是圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 去掉若干个点。去掉几个点？

练习 2基础

到 $x$ 轴的距离是到 $y$ 轴距离 $2$ 倍的点，轨迹由几条直线组成？

练习 3提高

过圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 内一点 $P_{0} (1, 0)$ 作弦，弦中点的轨迹是一个完整的圆。它的半径是多少？

练习 4挑战

过 $P_{0} (2, 0)$ 的直线截圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 得弦，弦中点的轨迹是 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 上满足 $0 \leq x < k$ 的一段弧。求 $k$ 。