构造法

一句话

很多问题的答案是一个“东西”：一个例子、一个函数、一个图形。构造法就是把它造出来。最常见的格局是求最值：

上界 证明 \leq M + 构造 造一个例子 = M ⟹ 最大值 = M

光有界，答案可能更小；光有例子，答案可能更大。另一种构造是把一个式子“认出来”：它像判别式，就造一个二次函数；它像余弦定理，就造一个三角形。

先猜后证

从 $1, 2, \dots, 20$ 中最多能选出多少个数，使其中任何一个都不是另一个的倍数？

个

先选定答案，才能看到结论。

例：{1, …, 2n} 中互不整除的数最多有几个（n = 10）

第 1 / 5 步

先随手选
贪心地从小往大选会吃亏：选了 $2$ ， $4, 6, 8, \dots$ 都不能再选。检测器会标出所有整除的对。

$2 ∣ 6$
造抽屉：上界
每个抽屉至多一个
构造：取大的一半
结论

第 1 站 · 构造函数（卷二）

$(\sum a_{i} b_{i})^{2} \leq \sum a_{i}^{2} \sum b_{i}^{2}$ 的形状像“ $B^{2} \leq A C$ ”——判别式。那就造一个判别式是它的二次函数。

一题多解

证明柯西不等式 $(a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n})^{2} \leq (a_{1}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + \dots + b_{n}^{2})$ 。

构造二次函数

设 $\sum a_{i}^{2} > 0$ （否则显然）。令 $f (t) = \sum (a_{i} t - b_{i})^{2} = (\sum a_{i}^{2}) t^{2} - 2 (\sum a_{i} b_{i}) t + \sum b_{i}^{2}$ 。 $f (t) \geq 0$ 对一切实数 $t$ 成立，开口向上，所以判别式 $Δ = 4 (\sum a_{i} b_{i})^{2} - 4 \sum a_{i}^{2} \sum b_{i}^{2} \leq 0$ 。等号当且仅当某个 $t$ 使所有 $a_{i} t = b_{i}$ 。

代价要先“看出”判别式；之后两行。

拉格朗日恒等式

$\sum a_{i}^{2} \sum b_{i}^{2} - (\sum a_{i} b_{i})^{2} = \sum_{i < j} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i})^{2} \geq 0$ 。

代价展开验证即可，但恒等式本身要记住。

第 2 站 · 构造图形（卷三）

$a^{2} + b^{2} - ab$ 正是余弦定理里夹角为 $6 0^{\circ}$ 的样子： $a^{2} + b^{2} - 2 ab cos 6 0^{\circ}$ 。

例：a, b, c > 0，证明 √(a² − ab + b²) + √(b² − bc + c²) ≥ √(a² + ac + c²)

第 1 / 4 步

认出余弦定理
$a^{2} - ab + b^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos 6 0^{\circ}$ ； $a^{2} + a c + c^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos 12 0^{\circ}$ 。

$6 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}$
造图
读出三条边
三角形不等式

第 3 站 · 数列中的存在性（卷五）

“是否存在任意长的一串连续合数？”——存在，而且能写出来。

例：对任意正整数 k，存在 k 个连续的合数

第 1 / 3 步

让每一项都有一个因数
想让第 $j$ 个数被 $j + 1$ 整除：用一个所有 $2, 3, \dots, k + 1$ 都整除的数打底。

$(k + 1)!$
写出来
构造不一定最小

第 4 站 · 集合的分划（卷一）

同一个模式，换一个条件：选出的数两两不互素。抽屉变成相邻的两个数 ${2 k - 1, 2 k}$ （相邻整数互素）。

从

1

到

16

中选尽量多的数，使任两个都不互素。先打开“按抽屉排列”，再动手构造。

上界： $n$ 个抽屉 ${1, 2}, {3, 4}, \dots, {2 n - 1, 2 n}$ ，每个至多选一个，所以至多 $n$ 个。构造：全部偶数 $2, 4, \dots, 2 n$ ，任两个有公因数 $2$ 。最大值是 $n$ 。

练一练

练习 1基础

从 $1, 2, \dots, 30$ 中最多能选出多少个数，使其中任何一个都不整除另一个？

练习 2基础

从 $1, 2, \dots, 50$ 中最多能选出多少个数，使其中任两个都不互素？

练习 3提高

五个连续的正整数都是合数，其中最小的一个至少是多少？

练习 4挑战

实数 $a, b, c$ 满足 $a + 2 b + 3 c = 14$ 。求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值。

一句话

例：{1, …, 2n} 中互不整除的数最多有几个（n = 10）

第 1 站 · 构造函数（卷二）

构造二次函数

拉格朗日恒等式

第 2 站 · 构造图形（卷三）

例：a, b, c > 0，证明 √(a² − ab + b²) + √(b² − bc + c²) ≥ √(a² + ac + c²)

第 3 站 · 数列中的存在性（卷五）

例：对任意正整数 k，存在 k 个连续的合数

第 4 站 · 集合的分划（卷一）

练一练

错误博物馆 · 本站展品

构造出来的例子没验证

阶乘构造差一个

这条线路经过的站