一句话
反证法：要证命题 ，先假设 不成立，把“非 ”当作新条件和 一起推理，直到推出一个矛盾——与已知条件矛盾、与定理矛盾，或者自相矛盾。既然“非 ”站不住， 就成立。
三个动作：反设（写准结论的反面）→ 归谬（推出矛盾，这是关键）→ 结论。
例：质数有无穷多个（欧几里得）
第 1 / 4 步- 反设
假设质数只有有限个，把它们全部列出来：。图里先试 。
先猜后证
假设全部质数是 ，那么 。 是质数吗？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
不是：。很多人以为欧几里得的证明里 一定是质数，其实不对。证明只用到“ 的质因数不在表里”—— 和 都不在表里，矛盾照样成立。在上面的图里点选这六个质数验证一下。
第 1 站 · 集合的性质（卷一）
“集合 不可能只有一个元素”——结论是否定的，正面不知从何说起。反设它只有一个元素，条件立刻变成一个方程。
例：实数集 A 满足：1 ∉ A，且若 a ∈ A，则 1/(1 − a) ∈ A。证明 A 不能是单元素集
第 1 / 4 步- 反设
假设 只有一个元素，这里 。
第 2 站 · 最小数原理（卷五）
反证法和“最小”联手，就是无穷递降：假设有解，取“最小”的那个，再造出一个更小的——矛盾。
一题多解
证明： 是无理数。
既约分数 + 奇偶
反设 ， 是互质的正整数。则 ， 是偶数，所以 是偶数。
设 ，得 ， 也是偶数。 都是偶数，与互质矛盾。
代价最常见；要先说清“既约”。
无穷递降（最小数原理）
反设 。所有这样的表示里，正整数 有一个最小值，取 最小的一组。
由 同样推出 、，于是 ，而 （因为 ）。
找到了分母更小的表示，与 最小矛盾。
代价不用“既约”，换成“分母最小”；同样的骨架能证很多不定方程无解。
第 3 站 · 函数方程（卷二）
“不存在这样的函数”——又是一个否定结论。假设它存在，用特殊值把它逼到墙角。
例：证明不存在单射 f: ℝ → ℝ，使得对一切实数 x，都有 f(x²) − (f(x))² ≥ 1/4
第 1 / 4 步- 反设
假设这样的单射 存在。条件对所有 成立，挑那些让 的值。
练一练
假设全部质数就是 。按欧几里得的办法造出 ， 的最小质因数是多少？
提示 · 方向
先把 算出来。
提示 · 方法
。它不能被 整除，从 开始试除。
提示 · 第一步
都不整除 。
完整解答
，最小质因数是 ——它不在表里，假设被推翻。
方程 有多少组整数解？
提示 · 方向
。 和 的奇偶性有什么关系？
提示 · 方法
反设有整数解，看 能被 和 整除的情况。
提示 · 第一步
是偶数，所以两个因数同奇偶。
完整解答
若同为奇数，乘积是奇数；若同为偶数，乘积是 的倍数。而 是偶数但不是 的倍数，两种情况都矛盾。所以没有整数解，答案是 。
证明： 是无理数。
提示 · 方向
结论是“不是有理数”，用反证法。
提示 · 方法
反设 ， 是正整数，化成指数式。
提示 · 第一步
，两边 次方：。
完整解答
，故可设 为正整数。 是偶数， 是奇数，二者不可能相等，矛盾。所以 是无理数。
设 都是奇数。证明：方程 没有有理根。
提示 · 方向
反设有有理根 ，并且写成既约分数。
提示 · 方法
代入、去分母，得到一个整数等式，再按 的奇偶分类。
提示 · 第一步
。 互质，不会都是偶数。
完整解答
若 都是奇数，三项都是奇数，和是奇数，不等于 ；若一奇一偶，三项中恰有两项是偶数、一项是奇数，和还是奇数。都与“和为 ”矛盾。所以没有有理根。