数列的通项与求和

这一招在做什么

数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ 和前 $n$ 项和 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 互相决定：

a_{1} = S_{1}, a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} (n \geq 2) .

反过来，已知通项求和，最有用的想法之一是裂项相消：如果每一项都能写成同一个函数在两处的差，

a_{k} = c (V (k) - V (k + g)),

那么相加时，第 $k$ 项里的 $- V (k + g)$ 和第 $k + g$ 项里的 $+ V (k + g)$ 正好抵消。步骤是：

英雄图里的斜线就是第 2 步：每条斜线连着一对互相抵消的数，跨过 $g$ 行。

先猜后证

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100} = ?$ （可以填分数）

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 4 步

先拆
分母两个因子相差 $2$ 。试 $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} = \frac{2}{k ( k + 2 )}$ ——多了一个 $2$ ，所以前面要乘 $\frac{1}{2}$ 。图里每行左边的“ $=$ ”说明拆法是对的。

$\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$
列出来
相消
一般的 n

只要能写成“前减后”，什么都能裂。 $k \cdot k! = (k + 1) \cdot k! - k! = (k + 1)! - k!$ ，所以

1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1.

这一回“后”的那个数更大，所以写成

(k + 1)! - k!

。按“相消！”，剩下

(n + 1)!

和

1!

。

三个连续整数的积也一样： $\frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k ( k + 1 )} - \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )})$ 。

\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{5 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{42}) = \frac{5}{21}

。

Break it

结论：首尾剩下的就是和

$\frac{1}{k ( k + 3 )} = \frac{1}{3} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 3})$ ，系数 $\frac{1}{3}$ 。相消之后两个读数一致。

练习 1基础

求 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{20 \cdot 21}$ 。

练习 2基础

数列的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 n^{2} - n$ 。求通项 $a_{n}$ （用 $n$ 表示）。

练习 3提高

求 $k = 1 \sum 10 \frac{1}{k ( k + 2 )}$ 。

练习 4挑战

求 $\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{2 + 3} + \dots + \frac{1}{99 + 100}$ 。