一句话
设 P(n) 是关于正整数 n 的命题，k 是给定的正整数。如果
- P(1),P(2),…,P(k) 都成立；
- 由 P(n) 成立可以推出 P(n+k) 成立，
那么 P(n) 对一切正整数 n 成立。k 叫做跨度；k=1 就是第一数学归纳法。
跨度大，一步的“动作”就可以大：一下子添 3 分邮票、一下子把一块切成 4 块。代价是起点多了：每个起点只负责除以 k 余数相同的那一串。
例：8 分以上的邮资都能用 3 分和 5 分邮票凑出
第 1 / 6 步 -
选跨度 能付 n 分，再贴一张 3 分就能付 n+3 分。所以选跨度 k=3：P(n)⇒P(n+3)。
P(n)⇒P(n+3)
-
只有一个起点
-
两个起点
-
三个起点
-
起点不能乱选
-
换一个跨度
先猜后证
用 3 分和 5 分的邮票，凑不出来的邮资里最大的是多少分？
分
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
1,2,4,7 分凑不出来，8,9,10 都能凑出，于是由跨度为 3 的归纳，8 分以后全都能凑。所以最大的是 7 分。
一般地，面值为互质的 a,b 时，最大的凑不出的数是 ab−a−b。这里 15−3−5=7。
第 1 站 · 数论：换一组邮票
邮票改成 4 分和 7 分。先猜猜从哪里开始全都能凑，再用跨度 4 验证：点出 4 个相邻的起点。
17 能不能当起点？把跨度调成 7 也试一试：起点要几个？
18=7+7+4，19=7+4+4+4，20=4×5，21=7×3，再加上“贴一张 4 分”，18 以后都能凑出；而 17 凑不出（17,13,9,5,1 都不是 7 的倍数）。
第 2 站 · 几何：把正方形切成 n 个正方形
命题 当 n≥6 时，一个正方形可以分割成 n 个正方形（大小不必相同）。
这里最自然的动作是：把其中一个小正方形十字切开，变成 4 个——正方形多了 3 个。所以跨度是 3。
-
归纳一步 若正方形能分成 n 个正方形，取其中一个十字切成 4 个，就得到 n+3 个。
P(n)⇒P(n+3)
-
起点 n = 6
-
起点 n = 7
-
起点 n = 8
-
三串合起来
这里没有自动检查起点的真假——6,7,8 的分法你已经在上面看到了。只点 6 和 8，哪一串没倒？
第 3 站 · 求和：两项两项地走
求 Sn=−12+22−32+42−⋯+(−1)nn2。
逐项归纳时，每一步的符号一会儿正一会儿负，要分奇偶讨论。不如一次走两步：相邻的两项 −(m)2+(m+1)2 的符号模式是固定的。
一题多解
证明 Sn=(−1)n2n(n+1)。
跨度 1：分奇偶
Sn+1=Sn+(−1)n+1(n+1)2=(−1)n2n(n+1)−(−1)n(n+1)2=(−1)n(n+1)(2n−n−1)=(−1)n+12(n+1)(n+2)。
代数上其实不难——符号 (−1)n 一直提在外面。难的是“想到把它提出来”。
代价能做，但每一步都要讨论 n 的奇偶。
跨度 2：两项一组
起点：S1=−1=(−1)1⋅21⋅2，S2=−1+4=3=22⋅3。
归纳一步：加上的两项是 (−1)n+1(n+1)2+(−1)n+2(n+2)2=(−1)n[(n+2)2−(n+1)2]=(−1)n(2n+3)，所以
Sn+2=(−1)n[2n(n+1)+2n+3]=(−1)n+22(n+2)(n+3).
代价要验两个起点，但每一步都是同一个正号的差。
跨度为 k 的归纳，本质上是把命题按除以 k 的余数分成 k 组，每组各做一次第一归纳法。
练一练
只用 4 分和 5 分的邮票，凑不出的邮资中最大的是多少分？
提示 · 方向从小往大试：哪些能凑出？连续凑出 4 个之后会怎样？
提示 · 方法跨度选 4（再贴一张 4 分）。找到连续 4 个能凑出的数，它们之后就全都能凑出。
提示 · 第一步12=4⋅3，13=4⋅2+5，14=4+5⋅2，15=5⋅3。
完整解答12,13,14,15 都能凑出，由跨度为 4 的归纳，n≥12 都能凑出；而 11 凑不出（11,7,3 都不是 5 的倍数，11−5=6、11−10=1 也都不是 4 的倍数）。答案是 11（=4×5−4−5）。
要用“把一个正方形十字切成 4 个”的跨度归纳证明第 2 站的命题，必须亲手验证的起点是哪几个 n？（用逗号隔开）
提示 · 方向每做一次十字切割，正方形的个数增加几个？
提示 · 方法跨度是 3，要验 3 个相邻的起点。命题从哪个 n 开始？
提示 · 第一步命题是 n≥6，从 6 开始数 3 个。
某命题 P(n) 满足：P(n)⇒P(n+5)，并且 P(3),P(4),P(6),P(7) 成立。在 3≤n≤30 中，有几个 n 的 P(n) 不能由此推出？
提示 · 方向每个起点领一串：3,8,13,…。哪一串没有起点？
提示 · 方法按除以 5 的余数分组：3,4,6,7 的余数分别是 3,4,1,2。缺了哪个余数？
提示 · 第一步缺余数 0：5,10,15,… 这一串没有起点。其他四串的起点又都是该串在 n≥3 里的第一个数。
完整解答推不出的恰好是 3≤n≤30 中 5 的倍数：5,10,15,20,25,30，共 6 个。只要再验证 P(5)，这一串也会倒下。
证明：当 n≥6 时，一个正三角形可以分割成 n 个正三角形。
提示 · 方向什么动作能让正三角形的个数增加固定的数目？
提示 · 方法连接一个正三角形三边的中点，它变成 4 个正三角形：个数多 3。跨度为 3，起点要验 6,7,8。
提示 · 第一步7：先四等分，再把其中一个四等分，3+4=7。6 和 8 可以像正方形那样“先细分再合并”。
完整解答把边三等分，得到 9 个小正三角形，把一角边长为 2 的正三角形（含 4 个小的）合成一个：9−4+1=6。把边四等分得 16 个，把一角边长为 3 的（含 9 个小的）合成一个：16−9+1=8。7 见上一条。再由“四等分其中一个”，P(n)⇒P(n+3)，所以 n≥6 时都成立。