利用参数方程简化计算及论证

一句话

把要求的量写成某个参数的对称式，用韦达定理整体代入，不去求交点。

最好用的参数是直线上的有向距离。过 $P_0(x_0,y_0)$、倾斜角为 $\alpha$ 的直线写成

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cos \alpha \\ y=y_0+t\sin \alpha \end{array}$$

因为 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ 是单位向量，$|t|$ 正好是点到 $P_0$ 的距离，$t$ 的正负表示在 $P_0$ 的哪一侧。代入二次曲线，得到 $a{t}^2+bt+c=0$，两根 $t_1,t_2$ 就是 $P_{0}A$、$P_{0}B$：

$$|P_{0}A|\cdot |P_{0}B|=|t_1{t}_2|=\left|\frac{c}{a}\right|,\text{中点}⟺t_1+t_2=-\frac{b}{a}=0,|AB|=|t_1-t_2|.$$

先猜后证

圆 $x^2+y^2=9$，过 $P_0(1,1)$ 的弦 $AB$。不管方向如何，$|P_{0}A|\cdot |P_{0}B|$ 都等于多少？

就猜这个，揭晓先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 椭圆：以定点为中点的弦

椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 内一点 $P_0(2,1)$，求以 $P_0$ 为中点的弦所在直线的斜率。

代入直线参数方程，$t$ 的一次项系数是 $2\left(\frac{x_0\cos \alpha }{16}+\frac{y_0\sin \alpha }{4}\right)$。中点要求 $t_1+t_2=0$，即一次项系数为 $0$：

$$\frac{2\cos \alpha }{16}+\frac{\sin \alpha }{4}=0⟹\tan \alpha =-\frac{1}{2}.$$

图形加载中…

一般地，以 $(x_0,y_0)$ 为中点的弦的斜率是 $-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$——没有求任何一个交点。

第 2 站 · 抛物线：焦点弦

$y^2=4x$ 的焦点 $F(1,0)$，过 $F$ 的弦 $AB$。证明 $|FA|\cdot |FB|=|AB|$。

代入 $x=1+t\cos \alpha ,y=t\sin \alpha$：$t^2{\sin }^2\alpha -4t\cos \alpha -4=0$。

$$|FA|\cdot |FB|=|t_1{t}_2|=\frac{4}{{\sin }^2\alpha },|AB|=|t_1-t_2|=\frac{\sqrt{16{\cos }^2\alpha +16{\sin }^2\alpha }}{{\sin }^2\alpha }=\frac{4}{{\sin }^2\alpha }.$$

图形加载中…

第 3 站 · 角参数：把二元最值化成一元三角

一题多解

点 $P(x,y)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 上，求 $x+2y$ 的最大值。

设 x + 2y = m，用判别式

$x=m-2y$ 代入：$(m-2y{)}^2+4y^2=16$，即 $8y^2-4my+m^2-16=0$。$y$ 有实数解，$\Delta =16m^2-32(m^2-16)\ge 0$，$m^2\le 32$，最大值 $4\sqrt{2}$。

代价要代入、整理、解不等式，三步都容易算错。

离心角参数

设 $x=4\cos \phi ,y=2\sin \phi$，则 $x+2y=4\cos \phi +4\sin \phi =4\sqrt{2}\sin \left(\phi +\frac{\pi }{4}\right)\le 4\sqrt{2}$，在 $\phi =\frac{\pi }{4}$，即 $P(2\sqrt{2},\sqrt{2})$ 时取到。

代价一行，而且立刻知道在哪一点取到。

参数把“两个变量 + 一个约束”变成了“一个变量、没有约束”。下一站的极值问题会反复用到这一招。

练一练

练习 1基础

圆 $x^2+y^2=25$ 内一点 $P_0(3,2)$。过 $P_0$ 的任意一条弦被 $P_0$ 分成两段，求两段长度之积。

检查

练习 2基础

椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 中，以 $P_0(1,1)$ 为中点的弦所在直线的斜率是多少？

检查

练习 3提高

过点 $(2,0)$ 作倾斜角为 $\frac{\pi }{4}$ 的直线，交抛物线 $y^2=4x$ 于 $A$、$B$。求 $|AB{|}^2$。

检查

练习 4挑战

圆 $x^2+y^2=9$ 外一点 $P_0(5,0)$。过 $P_0$ 的一条割线交圆于 $A$、$B$，且 $|P_{0}A|=2$（$A$ 较近）。求 $|AB|$。

检查