一般二次方程的讨论与化简

观察

把一般二次方程 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ 先转轴、再移轴，结果只有三种模样。因为 $B^{2} - 4 A C$ 在转轴下不变、在移轴下根本不动，它直接决定“型”：

$B^{2} - 4 A C$	类型	一般情形（ $Δ \neq = 0$ ）	特殊情形（ $Δ = 0$ 等）
$< 0$	椭圆型	椭圆（或没有轨迹）	一个点
$> 0$	双曲线型	双曲线	两条相交直线
$= 0$	抛物线型	抛物线	两条平行直线、两条重合直线或没有轨迹

其中 $Δ = A \frac{B}{2} \frac{D}{2} \frac{B}{2} C \frac{E}{2} \frac{D}{2} \frac{E}{2} F$ ，它也是转轴、移轴下的不变量。

先猜后证

$4 x^{2} + 4 x y + y^{2} - 3 x + 5 y - 2 = 0$ 是哪一型？

椭圆型双曲线型抛物线型

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 6 步

定型
$B^{2} - 4 A C = 4 - 36 = - 32 < 0$ ，椭圆型：结果只能是椭圆、一个点或没有轨迹。

$B^{2} - 4 A C = - 32 < 0$
看是否退化
转轴
移轴
改一个常数
再大一点

化简的一般步骤： $B = 0$ 时只需移轴； $B \neq = 0$ 时先转轴消去 $x y$ 项，再移轴。对椭圆型和双曲线型，也可以先移轴到中心再转轴——中心由 $2 A h + B k + D = 0$ 、 $B h + 2 C k + E = 0$ 解出，往往更省事。

Break it

结论： $B^{2} - 4 A C$ 的符号决定曲线是椭圆、双曲线还是抛物线

$Δ \neq = 0$ ： $B^{2} - 4 A C > 0$ ，一条货真价实的双曲线。

练习 1基础

求 $3 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2} + x - 7 = 0$ 的 $B^{2} - 4 A C$ ，并判断类型。（填数值）

练习 2基础

$k > 0$ ，方程 $x^{2} + k x y + 4 y^{2} - 1 = 0$ 是抛物线型。求 $k$ ，并说出它的图形。

练习 3提高

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x - 6 y + 1 = 0$ 化简后是 $Y^{2} = 2 pX$ 。求 $p^{2}$ 。

练习 4挑战

$k$ 为何值时， $x^{2} - x y - 2 y^{2} + x + 4 y + k = 0$ 表示两条直线？