从整体考虑问题

一句话

研究问题时，不要只盯着局部的一项、一个条件；退一步，把问题作为一个整体来看：整体的结构、整体的和、整体的对称。局部算不动的东西，放在整体里常常相互抵消。

最常见的几种“整体”：配对（首尾相加）、裂项（相邻相消）、整体代换（把一个式子看成一个字母）、构造函数（两边是同一个函数）。

先猜后证

同一个 $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$，求 $\sum _{k=1}^{2024}f\left(\frac{k}{2025}\right)$。

就猜这个，揭晓先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 构造函数（卷二）

方程看上去是三次的，硬解很难。但两边是同一个函数在两个点的值。

第 2 站 · 单位根（卷四）

$\cos \frac{2\pi }{7}$ 单独算不出来，但七个七次单位根加在一起是 $0$。

第 3 站 · 数列求和（卷五）

裂项相消：每一项是相邻两项之差，整体相加时中间的全部抵消。

图形加载中…

所以 $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。单看任何一项都看不出这个结果，整体看却一目了然。

第 4 站 · 均值与柯西（卷六）

一题多解

$a,b,c>0$，证明 $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$（Nesbitt 不等式）。

每项加 1，整体处理

每一项加 $1$：$\frac{a}{b+c}+1=\frac{a+b+c}{b+c}$。设 $s=a+b+c$，左边 $+3$ 等于 $s\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)$。

三个分母之和是 $2s$。由柯西不等式（或调和—算术平均），$\left[(b+c)+(c+a)+(a+b)\right]\left(\sum \frac{1}{b+c}\right)\ge 9$，所以左边 $+3\ge \frac{9}{2}$，即左边 $\ge \frac{3}{2}$。

代价一个小动作，让三个分子变得一样。

逐项硬拆

单看 $\frac{a}{b+c}$，它可以任意接近 $0$（$a$ 很小时），没有一个对每项都成立的正下界。

只有把三项放在一起，一项小的时候另外两项必然大，整体才有下界 $\frac{3}{2}$。

代价想对每一项单独放缩，会发现单项没有好的下界——局部走不通。

练一练

练习 1基础

求 $\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{49\times 50}$。

检查

练习 2基础

$f(x)=\frac{9^x}{9^x+3}$。求 $f\left(\frac{1}{100}\right)+f\left(\frac{2}{100}\right)+\cdots +f\left(\frac{99}{100}\right)$。

检查

练习 3提高

解方程 $(2x+1{)}^3+x^3+3x+1=0$。

检查

练习 4挑战

求 $\cos \frac{\pi }{7}-\cos \frac{2\pi }{7}+\cos \frac{3\pi }{7}$ 的值。

检查