双曲线

观察

与两个定点 $F_{1}, F_{2}$ 距离之差的绝对值等于常数 $2 a$ （ $0 < 2 a < ∣ F_{1} F_{2} ∣$ ）的点的轨迹叫双曲线：

∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 2 a

去掉绝对值，“ $= 2 a$ ”是离 $F_{2}$ 近的那一支，“ $= - 2 a$ ”是离 $F_{1}$ 近的那一支。

先猜后证

双曲线 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 上一点 $P$ 到左焦点 $F_{1}$ 的距离是 $10$ 。 $P$ 到右焦点 $F_{2}$ 的距离是多少？

只能是

4

只能是

16

4

或

16

求不出来

先选定答案，才能看到结论。

推导和椭圆几乎一字不差：两次平方。区别只在最后一步——这里 $c > a$ 。

第 1 / 6 步

写出定义
焦点 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ 。图上 $a = 3$ 。右支上的 $P$ 满足 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 2 a$ 。

$(x + c)^{2} + y^{2} - (x - c)^{2} + y^{2} = \pm 2 a$
两次平方
这次 c > a
画一个框
渐近线
离心率

两个小技巧：

实轴在 $y$ 轴上的双曲线是 $\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 。看哪一项是正的，实轴就在哪个轴上——和椭圆“看分母大小”不同。
渐近线：把右边的 $1$ 换成 $0$ ， $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 0$ 分解成两条直线。反过来，以 $y = \pm \frac{b}{a} x$ 为渐近线的双曲线都可写成 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = λ$ （ $λ \neq = 0$ ）。 $λ = - 1$ 时得到的叫共轭双曲线，和原来的共用一个方框。

练习 1基础

求双曲线 $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 的离心率（写成分数）。

练习 2基础

双曲线 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{12} = 1$ 的一条渐近线与 $x$ 轴正方向所成的锐角是多少度？

练习 3提高

一条双曲线的焦点在 $x$ 轴上，焦距为 $10$ ，渐近线是 $y = \pm \frac{1}{2} x$ 。求它的 $a^{2}$ 。

练习 4挑战

$F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 的焦点， $P$ 在双曲线上， $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{\circ}$ 。求 $∣ P F_{1} ∣ \cdot ∣ P F_{2} ∣$ 。