选择合适的记号

一句话

解题时一开始选什么记号，往往决定了后面是一路顺畅还是寸步难行。好的记号做三件事：减少未知量、保持对称、让运算与结构对上号——旋转对应乘法，迭代对应加法，选元素对应 $0/1$ 串。

例：x + y = 5，xy = 3，求 x³ + y³

第 1 / 4 步

记号一：解出 x、y
$x, y$ 是 $t^{2} - 5 t + 3 = 0$ 的两根， $\frac{5 \pm 13}{2}$ 。再立方、相加——带着根号算。

$x, y = \frac{5 \pm 13}{2}$
记号二：只用 s、p
递推
记号的威力

先猜后证

$x + y = 5$ ， $x y = 3$ 。 $x^{4} + y^{4}$ 等于多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 元素与集合（卷一）

数子集的“对”，换一个记号：不记子集，记每个元素的状态。

一题多解

满足 $A \subseteq B \subseteq {1, 2, \dots, n}$ 的有序集合对 $(A, B)$ 有多少个？

记号：先选 B，再选 A

$∣ B ∣ = j$ 的 $B$ 有 $(j n)$ 个，每个 $B$ 有 $2^{j}$ 个子集 $A$ 。

总数 $j = 0 \sum n (j n) 2^{j} = (1 + 2)^{n} = 3^{n}$ 。

代价自然，但要用二项式定理收尾。

记号：每个元素的状态

对每个元素 $x$ ，只有三种状态： $x \in / B$ ； $x \in B$ 但 $x \in / A$ ； $x \in A$ 。

$(A, B)$ 与长度为 $n$ 的“三状态串”一一对应，共 $3^{n}$ 个。

代价一句话：换个记号，求和消失了。

第 2 站 · 函数迭代（卷二）

$f (x) = \frac{x}{1 + x}$ 迭代下去越写越乱。换成倒数这个记号，迭代就只是“加一”。

例：f(x) = x/(1 + x)，求 f⁽ⁿ⁾(x)

第 1 / 4 步

直接算两次
$f^{(2)} (x) = \frac{x}{1 + 2 x}$ ， $f^{(3)} (x) = \frac{x}{1 + 3 x}$ ……能猜，但每次都要化繁分式。

$f^{(2)} (x) = \frac{\frac{x}{1 + x}}{1 + \frac{x}{1 + x}}$
换记号：取倒数
迭代变成加法
翻回来

第 3 站 · 复数（卷四）

平面上的点记成复数，“绕 $A$ 逆时针转 $9 0^{\circ}$ ”就是“乘以 $i$ ”。

例：正方形 ABCD 的顶点按逆时针排列，A(1, 1)，B(4, 2)，求 C、D

第 1 / 4 步

换记号
把点记成复数： $A = 1 + i$ ， $B = 4 + 2 i$ ， $A B$ 对应 $B - A = 3 + i$ 。

$B - A = 3 + i$
旋转 = 乘 i
写出两点
结论

第 4 站 · 适当选取坐标系（卷七）

坐标系是我们自己放上去的记号。放在对称的位置，式子就对称。

例：P 是矩形 ABCD 所在平面上任一点，证明 PA² + PC² = PB² + PD²

第 1 / 4 步

选坐标系
让 $A$ 在原点，两边在坐标轴上： $A (0, 0)$ ， $B (a, 0)$ ， $C (a, b)$ ， $D (0, b)$ ， $P (x, y)$ 。

$A (0, 0), B (a, 0), C (a, b), D (0, b)$
左边
右边
完全相同

练一练

练习 1基础

满足 $A \subseteq B \subseteq {1, 2, 3, 4, 5}$ 的有序集合对 $(A, B)$ 有多少个？

练习 2基础

$f (x) = \frac{x}{1 + 2 x}$ ，求 $f^{(10)} (1)$ （ $f$ 迭代 $10$ 次）。

练习 3提高

$x + y = 3$ ， $x y = 1$ ，求 $x^{4} + y^{4}$ 。

练习 4提高

正方形 $A B C D$ 的顶点按逆时针排列， $A (2, 0)$ ， $B (5, 1)$ 。求 $D$ 的坐标（写成 $(x, y)$ ）。

一句话

例：x + y = 5，xy = 3，求 x³ + y³

第 1 站 · 元素与集合（卷一）

记号：先选 B，再选 A

记号：每个元素的状态

第 2 站 · 函数迭代（卷二）

例：f(x) = x/(1 + x)，求 f⁽ⁿ⁾(x)

第 3 站 · 复数（卷四）

例：正方形 ABCD 的顶点按逆时针排列，A(1, 1)，B(4, 2)，求 C、D

第 4 站 · 适当选取坐标系（卷七）

例：P 是矩形 ABCD 所在平面上任一点，证明 PA² + PC² = PB² + PD²

练一练

错误博物馆 · 本站展品

以为 x² + y² = (x + y)²

把 f⁽ⁿ⁾(x) 当成 (f(x))ⁿ

这条线路经过的站