赋值法

一句话

赋值就是给本来与数量无关的对象（或给恒等式里的变量）赋上恰当的数值，让问题变成一道算术题：

格子 \mapsto \pm 1, x \mapsto 0, \pm 1, ω, n \mapsto n 中素数 p 的次数

赋值之后，乘积的符号、和的奇偶、系数之和、素因子的次数，都可以用运算法则推出来。好的赋值，要让我们关心的量变成算得出来的量。

先猜后证

5×5 的方格表里每格填 $+ 1$ 或 $- 1$ 。算出每行的乘积和每列的乘积，共 $10$ 个数。这 $10$ 个数的和能等于 $0$ 吗？

能，例如适当放几个

- 1

不能要看

- 1

有几个

先选定答案，才能看到结论。

例：n 为奇数时，2n 个乘积之和不为 0

第 1 / 4 步

如果和为 0
$10$ 个 $\pm 1$ 的和为 $0$ ，意味着恰有 $5$ 个 $- 1$ 、 $5$ 个 $+ 1$ 。

$r_{1} + \dots + r_{5} + c_{1} + \dots + c_{5} = 0 ⟺ 恰有 5 个 - 1$
换一个运算：乘起来
−1 的个数是偶数
矛盾

第 1 站 · 函数方程中的赋值（卷二）

方程对一切 $x, y$ 成立，就可以挑最省事的值代进去：先 $x = y = 0$ ，再 $y = 0$ 。

例：求所有 f: R → R，使 f(x)f(y) − f(xy) = x + y 对一切实数 x, y 成立

第 1 / 4 步

令 x = y = 0
$f (0)^{2} - f (0) = 0$ ，所以 $f (0) = 0$ 或 $f (0) = 1$ 。

$f (0) (f (0) - 1) = 0$
令 y = 0
得到候选
代回检验

第 2 站 · 单位根：把系数“筛”出来（卷四）

$x = 1$ 把所有系数加起来， $x = - 1$ 让奇偶项分开；要按下标模 $3$ 分开，就令 $x = ω$ （ $ω^{3} = 1, ω \neq = 1$ ），利用 $1 + ω^{k} + ω^{2 k}$ 在 $3 ∣ k$ 时为 $3$ 、否则为 $0$ 。

一题多解

求 $(0 9) + (3 9) + (6 9) + (9 9)$ 。

直接算

$1 + 84 + 84 + 1 = 170$ 。

代价项少时最快，但项一多就算不动了。

单位根赋值

在 $(1 + x)^{9} = \sum (k 9) x^{k}$ 中分别令 $x = 1, ω, ω^{2}$ 并相加，下标不被 $3$ 整除的项全部抵消：

$3 [(0 9) + (3 9) + (6 9) + (9 9)] = 2^{9} + (1 + ω)^{9} + (1 + ω^{2})^{9} .$

$1 + ω = - ω^{2}$ ， $(1 + ω)^{9} = - ω^{18} = - 1$ ；同理 $(1 + ω^{2})^{9} = - 1$ 。所以和为 $\frac{512 - 2}{3} = 170$ 。

代价多一点复数运算，换来任意 n 都适用的公式。

第 3 站 · 对恒等式取特殊值（卷五）

例：(2x − 1)⁶ = a₀ + a₁x + … + a₆x⁶，求 a₀ + a₂ + a₄ + a₆

第 1 / 4 步

令 x = 1
全部系数之和。

$a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} = (2 - 1)^{6} = 1$
令 x = −1
相加
顺便：令 x = 0

第 4 站 · 集合的划分与素因子的次数（卷一）

给每个正整数赋值“它含素数 $p$ 的次数” $v_{p} (n)$ 。乘积的次数等于次数之和： $v_{p} (ab) = v_{p} (a) + v_{p} (b)$ 。

例：能否把 {1, 2, …, 10} 分成两组，使两组数的乘积相等？

第 1 / 3 步

赋值
对每个数取 $v_{7}$ （含因子 $7$ 的次数）。 $1$ 到 $10$ 中只有 $7$ 含因子 $7$ 。

$v_{7} (7) = 1, v_{7} (k) = 0 (k \neq = 7)$
两组乘积相等 ⇒ 次数相等
奇偶矛盾

练一练

练习 1基础

3×3 方格表中有一格填 $- 1$ ，其余填 $+ 1$ 。三个行积与三个列积之和是多少？

练习 2基础

$(1 + x + x^{2})^{5} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{10} x^{10}$ 。求 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{10}$ 。

练习 3提高

用 $x = 1, i, - 1, - i$ 赋值，求 $(0 8) + (4 8) + (8 8)$ 。

练习 4挑战

求 $(1 10) + (4 10) + (7 10) + (10 10)$ （下标模 $3$ 余 $1$ 的组合数之和）。

一句话

例：n 为奇数时，2n 个乘积之和不为 0

第 1 站 · 函数方程中的赋值（卷二）

例：求所有 f: R → R，使 f(x)f(y) − f(xy) = x + y 对一切实数 x, y 成立

第 2 站 · 单位根：把系数“筛”出来（卷四）

直接算

单位根赋值

第 3 站 · 对恒等式取特殊值（卷五）

例：(2x − 1)⁶ = a₀ + a₁x + … + a₆x⁶，求 a₀ + a₂ + a₄ + a₆

第 4 站 · 集合的划分与素因子的次数（卷一）

例：能否把 {1, 2, …, 10} 分成两组，使两组数的乘积相等？

练一练

错误博物馆 · 本站展品

只代了 x = 1

赋值得到的只是必要条件

这条线路经过的站