利用极坐标简化计算及论证

一句话

题目里的线段都从同一个点出发、又和角度有关时，把这个点选作极点。 线段长就是极径 $ρ$ ，“转一个角”就是 $θ$ 加一个数，长度之间的关系变成三角式的加减。

圆锥曲线最合适的极点是焦点：椭圆、抛物线、双曲线统一成一个方程

ρ = \frac{e p}{1 - e cos θ} (e 离心率, p 焦点到准线的距离) .

焦点弦的倒数和是定值

第 1 / 4 步

焦点作极点
以焦点 $F$ 为极点，过 $F$ 垂直于准线 $l$ 的射线（背向准线）为极轴。曲线上的点到 $F$ 的距离就是 $ρ$ 。

$ρ = \frac{e p}{1 - e cos θ}$
弦的两端
取倒数再相加
弦长也顺手得到

同样的题在直角坐标里要联立方程、用韦达定理、再开方化简。极坐标把“联立”这一步省掉了： $A$ 、 $B$ 的位置直接由角度给出。

先猜后证

抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的一条焦点弦 $A B$ 中， $∣ F A ∣ = 3$ 。 $∣ F B ∣$ 是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 焦点弦长

抛物线 $y^{2} = 4 x$ 过焦点、倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的弦长是多少？

一题多解

抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过焦点 $F$ 作倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的弦 $A B$ ，求 $∣ A B ∣$ 。

直角坐标：联立 + 韦达

$F (1, 0)$ ，直线 $y = x - 1$ 。代入得 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ ， $x_{1} + x_{2} = 6$ 。由抛物线定义 $∣ F A ∣ = x_{1} + 1$ ， $∣ F B ∣ = x_{2} + 1$ ，所以 $∣ A B ∣ = x_{1} + x_{2} + 2 = 8$ 。

代价要解方程组，还要记住“焦半径 = x + 1”。

极坐标：一行

$e = 1$ ， $p = 2$ ， $∣ A B ∣ = \frac{2 e p}{1 - e ^{2} cos ^{2} α} = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = 8$ 。对抛物线，这就是 $∣ A B ∣ = \frac{2 p}{sin ^{2} α}$ 。

代价只需认出 $e$ 和 $p$ 。

第 2 站 · 两条互相垂直的焦点弦

把 $α$ 换成 $α + \frac{π}{2}$ ， $cos$ 变成 $sin$ ：

\frac{1}{∣ A B ∣} + \frac{1}{∣ C D ∣} = \frac{( 1 - e ^{2} cos ^{2} α ) + ( 1 - e ^{2} sin ^{2} α )}{2 e p} = \frac{2 - e ^{2}}{2 e p} .

转动

α

：两条弦一长一短此消彼长，倒数和不变。把

e

调过

1

再看——什么时候这个读数变成“!”？

又是“ $cos^{2} + sin^{2} = 1$ ”在起作用：极坐标把垂直关系变成了相差 $\frac{π}{2}$ 的两个角，三角恒等式自动替我们消元。

第 3 站 · 中心作极点：互相垂直的两条半径

椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 以中心为极点，把 $x = ρ cos θ$ 、 $y = ρ sin θ$ 代进去：

\frac{1}{ρ ^{2}} = \frac{cos ^{2} θ}{a ^{2}} + \frac{sin ^{2} θ}{b ^{2}} .

若 $O A ⊥ O B$ ， $A$ 、 $B$ 的极角差 $\frac{π}{2}$ ，两式相加又是 $cos^{2} + sin^{2}$ ：

\frac{1}{∣ O A ∣ ^{2}} + \frac{1}{∣ O B ∣ ^{2}} = \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} .

还有一个推论：

O

到

A B

的距离

d

满足

\frac{1}{d ^{2}} = \frac{1}{∣ O A ∣ ^{2}} + \frac{1}{∣ O B ∣ ^{2}}

（直角三角形斜边上的高），所以

d

也是定值——直线

A B

永远和一个固定的圆相切。点按钮把这个圆画出来。

练一练

练习 1基础

抛物线 $y^{2} = 8 x$ ，过焦点作倾斜角为 $\frac{π}{6}$ 的弦 $A B$ 。求 $∣ A B ∣$ 。

练习 2基础

椭圆 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 的焦点 $F$ ，过 $F$ 的弦 $A B$ 。求 $\frac{1}{∣ F A ∣} + \frac{1}{∣ F B ∣}$ 。

练习 3提高

椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ ，过左焦点作两条互相垂直的弦 $A B$ 、 $C D$ 。求 $\frac{1}{∣ A B ∣} + \frac{1}{∣ C D ∣}$ 。

练习 4挑战

椭圆 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 上两点 $A$ 、 $B$ 满足 $O A ⊥ O B$ （ $O$ 为中心）。求 $△ O A B$ 面积的最小值。

一句话

焦点弦的倒数和是定值

第 1 站 · 焦点弦长

直角坐标：联立 + 韦达

极坐标：一行

第 2 站 · 两条互相垂直的焦点弦

第 3 站 · 中心作极点：互相垂直的两条半径

练一练

错误博物馆 · 本站展品

把 $p$ 当成准线到中心的距离

双曲线的焦点弦，照搬椭圆的公式取绝对值