不变量与恒增（减）量

一句话

一个过程每一步都在变，但如果有某个量 $I$ 一步也不变，那么

I (起点) = I (每一步) = I (终点)

终点就被它锁住了： $I$ 不同的状态永远到不了。若一个量只减不增（恒减量）且是非负整数，过程就不可能无限进行下去；若只增不减，就永远回不到起点。找这样的量，是处理“操作”类问题的第一反应。

先猜后证

黑板上写着 $1, 2, \dots, 10$ 。每次擦去两个数 $a, b$ ，写上 $∣ a - b ∣$ 。最后只剩一个数。它可能是 $0$ 吗？

可能不可能

先选定答案，才能看到结论。

例：1, 2, 3, 4, 5，每次把 a, b 换成 a + b + ab，最后剩下什么？

第 1 / 4 步

找改变量
$a + b + ab$ 看着乱，但加 $1$ 之后能分解： $1 + (a + b + ab) = (1 + a) (1 + b)$ 。

$1 + (a + b + ab) = (1 + a) (1 + b)$
不变量
换一种顺序也一样
终点

第 1 站 · 周期数列（卷五）

一个整数数列若有一个有界的不变量，它只能取有限个状态，于是必然周期。

例：a₁ = 1，a₂ = 3，aₙ₊₂ = aₙ₊₁ − aₙ。为什么它是周期的？

第 1 / 3 步

找一个不变的二次式
记相邻两项为 $(a, b)$ ，下一对是 $(b, b - a)$ 。试 $Q (a, b) = a^{2} - ab + b^{2}$ ：

$Q (b, b - a) = b^{2} - b (b - a) + (b - a)^{2} = a^{2} - ab + b^{2}$
它把状态关在有限的盒子里
有限 + 可逆 ⇒ 周期

第 2 站 · 函数迭代：两个平均数（卷二）

同时迭代两个数，一个量不变，两个量单调，极限就被夹出来了。

例：x₀ = 1，y₀ = 4，xₙ₊₁ = (xₙ + yₙ)/2，yₙ₊₁ = 2xₙyₙ/(xₙ + yₙ)

第 1 / 3 步

不变量
算术平均乘调和平均：

$x_{n + 1} y_{n + 1} = \frac{x _{n} + y _{n}}{2} \cdot \frac{2 x _{n} y _{n}}{x _{n} + y _{n}} = x_{n} y_{n} = 4$
单调量
夹出极限

第 3 站 · 转轴：二次曲线的不变量（卷七）

坐标轴旋转时， $A x^{2} + B x y + C y^{2}$ 的系数都在变，但 $A + C$ 与 $B^{2} - 4 A C$ 不变。

例：5x² + 4xy + 2y² = 6 是什么曲线？

第 1 / 3 步

两个不变量
旋转到消去 $x y$ 项后得 $λ_{1} x^{'2} + λ_{2} y^{'2} = 6$ 。不变量给出：

$λ_{1} + λ_{2} = A + C = 7, - 4 λ_{1} λ_{2} = B^{2} - 4 A C = - 24$
解出新系数
读出曲线

第 4 站 · 恒增量：永远回不去（卷五）

无穷递降说：正整数不能无限减小。反过来，一个严格增加的量让我们永远回不到起点。

每次把

a, b

换成

a + b

与

∣ a - b ∣

。随便操作几次：

\sum x^{2}

怎样变化？能回到

3, 4, 12

吗？

一题多解

黑板上 $3, 4, 12$ ，每次把两个数 $a, b$ 换成 $a + b$ 与 $∣ a - b ∣$ 。能否经过若干次（至少一次）操作重新得到 $3, 4, 12$ ？

平方和：恒增量

$(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ ，所以一次操作让 $\sum x^{2}$ 增加 $a^{2} + b^{2} \geq 0$ ：它只增不减。第一次操作的两个数都是正数， $\sum x^{2}$ 严格大于 $169$ ；此后再也不会减小，所以永远回不到 $3^{2} + 4^{2} + 1 2^{2} = 169$ 。答案：不能。

代价找到 Σx² 就结束。

总和：另一个恒增量

新的和是 $(a + b) + ∣ a - b ∣$ ，比原来多 $∣ a - b ∣ \geq 0$ ，也只增不减。起点 $3, 4, 12$ 两两不等，第一次操作后总和严格大于 $19$ ，此后不会减小，同样回不去。

代价同样有效，但要留意“相等时不增”。

练一练

练习 1基础

黑板上写着 $1, 2, \dots, 10$ 。每次擦去两个数 $a, b$ ，写上 $∣ a - b ∣$ ，直到只剩一个数。这个数除以 $2$ 的余数是多少？

练习 2基础

黑板上写着 $1, 2, \dots, 9$ 。每次擦去两个数 $a, b$ ，写上 $a + b + ab$ 。最后剩下的数是多少？

练习 3提高

黑板上写着 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{6}$ 。每次擦去两个数 $a, b$ ，写上 $\frac{ab}{a + b}$ 。最后剩下的数是多少？

练习 4挑战

曲线 $x^{2} + 4 x y + y^{2} = 3$ 经旋转坐标轴化为 $λ_{1} x^{'2} + λ_{2} y^{'2} = 3$ 。求 $λ_{1} λ_{2}$ ，并判断曲线类型。

一句话

例：1, 2, 3, 4, 5，每次把 a, b 换成 a + b + ab，最后剩下什么？

第 1 站 · 周期数列（卷五）

例：a₁ = 1，a₂ = 3，aₙ₊₂ = aₙ₊₁ − aₙ。为什么它是周期的？

第 2 站 · 函数迭代：两个平均数（卷二）

例：x₀ = 1，y₀ = 4，xₙ₊₁ = (xₙ + yₙ)/2，yₙ₊₁ = 2xₙyₙ/(xₙ + yₙ)

第 3 站 · 转轴：二次曲线的不变量（卷七）

例：5x² + 4xy + 2y² = 6 是什么曲线？

第 4 站 · 恒增量：永远回不去（卷五）

平方和：恒增量

总和：另一个恒增量

练一练

错误博物馆 · 本站展品

不变量没反对，就以为一定能做到

把“会变的量”当成不变量

这条线路经过的站