一句话
一张 表（关联表）里的记号总数，可以按行加，也可以按列加：
这句话简单到像废话，用起来却极有力：选对“行”和“列”，一边好算、另一边就是我们要的量。这就是算两次（富比尼原理）。
先猜后证
表示 的正约数个数。 等于多少？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
。一个个数约数也行，但按“倍数”数更快：。
例：Σ d(j) = Σ ⌊n/i⌋
第 1 / 4 步- 画关联表
行是 ，列是 ； 时画一个点。我们要的 就是表中点的个数。
第 1 站 · 子集族（卷一）
行 = 元素，列 = 子集，“元素属于子集”画点。按列数是 ，按行数是“每个元素属于几个子集”。
例：{1, 2, 3, 4} 的全部子集的元素个数之和
第 1 / 3 步- 按列数
每一列是一个子集 ，列和是 。直接加 个数有点累。
第 2 站 · 人与小组（卷一）
行 = 人，列 = 小组，“某人参加某组”画点。知道每行的和与每列的和，就能互相推算。
例：每人恰参加 3 个兴趣小组，每组恰有 6 人；共 40 人，有几个小组？
第 1 / 4 步- 设未知量
设有 个小组。关联表 行、 列。
第 3 站 · 数列求和与组合恒等式（卷五）
证明恒等式，最漂亮的办法是找一个集合，让等式两边是它的两种数法。
一题多解
证明 。
算两次
数 的 元子集。一方面有 个。另一方面按最大元 （）分类：其余两个元素从 中选，有 种。两边相等。
代价要想到“按最大元分类”，但想到后一行就完。
数学归纳法
时两边都是 。若对 成立，则左边加上 得 （帕斯卡公式），对 成立。
代价机械可靠，但看不出等式“为什么”成立。
第 4 站 · 组合计数估计（卷六）
要估计一个集族最多有多大，就数一种“配对”：一边用条件给出上界，一边用集族的大小表示。
例：{1, …, 7} 的 3 元子集族 𝓕，任两个集合至多有一个公共元素。|𝓕| 最多是多少？
第 1 / 4 步- 数什么
数“（元素对 ，集合 ）”，其中 。
练一练
求 ，其中 是 的正约数个数。
提示 · 方向
按“倍数”数比按“约数”数快。
提示 · 方法
。
提示 · 第一步
依次是 。
完整解答
和为 。验算：。
一个年级 名同学，每人恰好参加 个社团，每个社团恰好有 名同学。共有多少个社团？
提示 · 方向
画“同学 × 社团”的关联表。
提示 · 方法
按行数和按列数，记号总数相同。
提示 · 第一步
按行：；按列：。
完整解答
，。
求 。
提示 · 方向
这正是第 3 站的恒等式。
提示 · 方法
数 的 元子集，按最大元分类。
提示 · 第一步
和等于 。
完整解答
。（直接加：。）
的 元子集族中，任两个集合至多有一个公共元素。这样的集族最多有几个集合？
提示 · 方向
像第 4 站那样数“（元素对，集合）”。
提示 · 方法
。再想办法构造达到上界的例子。
提示 · 第一步
上界 。把 到 排成 方阵试试。
完整解答
方阵 的 行、 列、以及 条“折断的对角线”（如 ）共 个集合，任两个至多交于一点。所以最大值是 。