观察
- 只涂 和 的公共部分（不管 ）。机器写出什么？再把这块里属于 的那一小块擦掉，式子变成了什么？
- 涂“在 里但不在 里”的两块。机器为什么用了 而不是 和补？
- 涂 外面的所有区域，再点“取补集”，来回切换。两个式子是什么关系？
- 三个圈把 切成了几块？每一块要么涂、要么不涂。
交、并、补、差都是按元素定义的：
“且”“或”“非”三个逻辑词就是全部的秘密。韦恩图把这件事画了出来：一个元素落在哪一块，只取决于它在不在 、在不在 、在不在 ——三个“是/否”，一共 种。
先猜后证
三个集合 把全集 切成 块。用 和交、并、差、补能写出多少个不同的集合？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
式子可以无穷长，但写出来的集合只取决于“哪几块被涂了色”。 块中每块涂或不涂，共 种涂法。
反过来，每一种涂法都写得出来：每一块本身是 或 、 或 、 或 的交，把要的几块并起来就行。上面的机器做的就是这件事，只不过它会去找最短的写法。
为什么：反演律
证明两个集合相等，标准做法是“互相包含”，也就是逐个元素地追：任取左边的元素，证它在右边；反过来也一样。韦恩图上，这等价于每一块都涂得一样。
证明：∁(A∪B) = ∁A ∩ ∁B
第 1 / 6 步- 左边
先涂 ：两个圈里的三块。
交换律、结合律、分配律、吸收律也都能这样一块一块地验。下面这台“对图机”把左右两边并排画出来：分配律有两条，哪个才是 的另一种写法？
和数的运算不同，集合里两条分配律都成立： 对 可以分配， 对 也可以分配。
如果去掉一个条件
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论：括号可以随便挪 ← 还成立吗？
全是 （或全是 ）时，结合律成立，括号怎么加都一样：
里面是 、外面是 ，挪一下括号试试：
两个选项都有红块。比如只在 里的元素属于左边，却不属于 。运算不同，括号就是式子的一部分，不能随手挪。
练一练
， 是 中偶数组成的集合， 是 中 的倍数组成的集合。求 的元素个数。
提示 · 方向
里的数，既不在 里，也不在 里。
提示 · 方法
用反演律：，找既不是偶数、也不是 的倍数的数。
提示 · 第一步
奇数有 ，去掉 的倍数 。
完整解答
剩下 ，所以 ，共 个元素。
已知 ，，。求 （把元素用逗号隔开写出）。
提示 · 方向
画两个圈。三块区域“只在 ”“公共”“只在 ”分别是什么？
提示 · 方法
恰好被分成 、、 三块，互不重叠。
提示 · 第一步
。
完整解答
。
满足 的有序集合对 共有多少个？（ 与 在 时算两个。）
提示 · 方向
别去数 、 本身，去看每个元素的“去向”。
提示 · 方法
韦恩图有三块在 里：只在 、只在 、两者都在。每个元素必须落进这三块之一。
提示 · 第一步
每个元素有 种选择，而且各元素互不影响；反过来，每个元素的去向一定下来， 就唯一确定。
完整解答
共有 个有序对。
。满足 且 的有序三元组 有多少个？
提示 · 方向
还是看每个元素落在三圈韦恩图的哪一块。
提示 · 方法
块里，哪一块被 排除了？哪一块被 排除了？
提示 · 第一步
圈外那块和正中间那块都不许放，每个元素还剩 块可去。
完整解答
个元素各有 种去向，互不影响，所以共有 个三元组。