用平均值不等式求极值

一正、二定、三相等：拆项让积成为定值，再确认等号真的取得到，界才是最值。

📖 配合《平均值不等式与柯西不等式》§2.2阅读M6 极端原理线 M17 逐步调整法线

这一招在做什么

平均值不等式把“和”与“积”连在一起：

\frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n} \geq n x_{1} \dots x_{n} .

所以积为定值时，和有最小值；和为定值时，积有最大值。用它求最值，口诀是“一正、二定、三相等”：

正：参与的每一项都是正数。
定：通过拆项、配系数，让这些项的积（或和）是与变量无关的常数。
等：等号条件（各项相等）在题目允许的范围内真的能成立——否则得到的只是一个界。

先猜后证

$x > 0$ 。 $x^{2} + \frac{16}{x}$ 的最小值是多少？

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

例：x² + 16/x（x > 0）的最小值

第 1 / 5 步

一正
$x > 0$ ，两项都是正数，可以用平均值不等式。

$f (x) = x^{2} + \frac{16}{x}, x > 0$
直接用：积不是定值
二定：拆项
三相等
拆法不唯一

“和为定值，积最大”是同一件事反过来看。周长固定的矩形，两边 $a, b$ 的和固定：面积 $ab = G^{2}$ ，而 $G \leq A$ 。

拖分点

C

：直径（

a + b

）不变，半弦

ab

在正中间最长——正方形面积最大。

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：平均值不等式给出的界就是最小值

$x + \frac{4}{x}$ （ $x > 0$ ）：积是定值 $4$ ， $x + \frac{4}{x} \geq 4$ ， $x = 2$ 时取到。

练一练

练习 1基础

$x > 0$ 。求 $2 x + \frac{8}{x}$ 的最小值。

练习 2基础

$0 < x < \frac{1}{2}$ 。求 $x (1 - 2 x)$ 的最大值。

练习 3提高

$x > 0$ 。求 $x^{2} + \frac{2}{x}$ 的最小值。

练习 4挑战

$x > 1$ 。求 $\frac{x ^{2} + 3}{x - 1}$ 的最小值。

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展品

两次用平均值不等式，等号条件互相打架

a, b > 0

，

a + b = 1

。因为

a + \frac{1}{a} \geq 2

，

b + \frac{1}{b} \geq 2

，所以

(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b})

的最小值是

4

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　两个不等式各自的等号要 $a = 1$ 和 $b = 1$ ，可那样 $a + b = 2 \neq = 1$ 。等号取不到， $4$ 只是一个下界，不是最小值。事实上 $a = b = \frac{1}{2}$ 时乘积是 $(\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$ ，而它才是最小值。

展开：

ab + \frac{1}{ab} + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

。由

ab \leq \frac{1}{4}

和

t + \frac{1}{t}

在

0 < t \leq \frac{1}{4}

上递减，得

ab + \frac{1}{ab} \geq \frac{17}{4}

；又

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2

。两处等号都在

a = b = \frac{1}{2}

，相容，所以最小值是

\frac{25}{4}

。

「每个“≥”的等号都要在同一点成立」