二次曲线族

这一招在做什么

如果点 $P$ 同时满足 $S_1=0$ 和 $S_2=0$，那么对任何 $\lambda$，$S_1+\lambda S_2$ 在 $P$ 处的值都是 $0+\lambda \cdot 0=0$：

一个二次曲线由 $5$ 个条件确定。公共点用掉 $4$ 个，剩下一个参数 $\lambda$：

1. 写族：找两条容易写出的、都过这些点的曲线 $S_1$、$S_2$（常常是直线的乘积）。
2. 定参数：用剩下的条件（再过一点、是抛物线、是圆……）列出 $\lambda$ 的方程。
3. 查漏：别忘了 $S_2=0$ 本身（$\lambda =\infty$）。

过四点 $A,B,C,D$ 时，最方便的两条是“两组对边”：$S_1=AB\cdot CD$，$S_2=BC\cdot DA$（每个记号代表那条直线的方程左边）。圆与圆也可以：两圆相减（$\lambda =-1$）就得到公共弦所在直线。

跟着做一遍

什么时候不灵

族只保证“过公共点”。如果两条曲线的公共点不足四个实点（比如两圆只有两个交点），$S_1+\lambda S_2=0$ 仍然过这些实点，但这时它不再是“过这些点的全部”二次曲线——过两个点的二次曲线还有三个自由度。对两个圆，$S_1+\lambda S_2=0$（$\lambda \ne -1$）恰好给出过两圆交点的全部圆，因为“是圆”本身又用掉了两个条件。

练一练