单位圆与三角函数的定义

观察

把 $P$ 从 $0^{\circ}$ 慢慢转到 $36 0^{\circ}$ 。红色的正弦线 $M P$ 在哪两个象限朝上？蓝色的余弦线 $O M$ 在哪两个象限朝右？
正弦线和余弦线的长度能超过 $1$ 吗？正切线 $A T$ 呢？ $P$ 转到哪里时，正切线消失了？
用滑块把角推过 $36 0^{\circ}$ ，再推到负角。终边相同的角，三个读数有没有变化？
打开 “ $y = sin x$ ” 的图象： $P$ 每转一点，右边的点就往前走一点。图象上的高度是圆上哪条线段的长度？
最后一个读数 $sin^{2} θ + cos^{2} θ$ ，你能让它变成别的数吗？

定义. 设任意角 $α$ 的终边与单位圆交于 $P (x, y)$ ，则

sin α = y, cos α = x, tan α = \frac{y}{x} (x \neq = 0) .

正弦线、余弦线、正切线就是把这三个数画成有方向的线段：方向给出符号，长度给出大小。弧度制也从这里来：单位圆上，角 $α$ 所对的弧长就是 $α$ 的弧度数，转一圈是 $2 π$ 。

先猜后证

角 $θ = 100 0^{\circ}$ 的终边落在第几象限？

第一象限第二象限第三象限第四象限

先选定答案，才能看到结论。

“奇变偶不变，符号看象限”不必死记。单位圆有很多对称：关于 $y$ 轴、关于 $x$ 轴、关于原点、绕原点转 $9 0^{\circ}$ 。每一种对称都把 $P$ 搬到另一个位置，坐标怎么变，三角函数就怎么变。

第 1 / 5 步

同一张图还能说明两件事：

$O P = 1$ ，由勾股定理 $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ ；由相似三角形 $△ O M P \sim △ O A T$ ， $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ 。
正弦线、余弦线永远在 $[- 1, 1]$ 里，正切线却能任意长： $sin x, cos x$ 有界， $tan x$ 无界。

求 $sin x ⩾ \frac{1}{2}$ 的解，就是问：单位圆上哪些点的高度不低于 $\frac{1}{2}$ ？画一条水平线 $y = \frac{1}{2}$ ，它和圆交于 $3 0^{\circ}$ 、 $15 0^{\circ}$ 两点，上方那段弧就是答案：

\frac{π}{6} + 2 k π ⩽ x ⩽ \frac{5 π}{6} + 2 k π (k \in Z) .

几个条件同时成立时，就把几段弧（扇形区域）叠起来取公共部分——求复杂函数的定义域时，这是最不容易出错的办法。

把

P

在

3 0^{\circ}

和

15 0^{\circ}

之间来回拖：正弦线

M P

的长度始终不小于

\frac{1}{2}

。

练习 1基础

求 $sin 75 0^{\circ}$ 的值。

练习 2基础

求 $tan (- 22 5^{\circ})$ 的值。

练习 3提高

已知 $sin α = \frac{3}{5}$ ，且 $α$ 是第二象限的角，求 $tan α$ 。

练习 4挑战

已知 $θ \in (0, π)$ ， $sin θ + cos θ = \frac{7}{13}$ ，求 $tan θ$ 。