构造函数解题

一句话

题目没说“函数”，你替它造一个：选一个字母当自变量，把式子看成这个函数在某一点的值——于是“证明一个不等式”“解一个方程”变成了“看一条线段的端点”“看一个函数是否单调”。

难的从来不是函数的性质（这些前几章都学过），而是看出该造哪一个函数。

先猜后证

$a, b, c$ 都在 $[0, 1]$ 里取值。 $a + b + c - ab - b c - c a$ 最大能是多少？

\frac{3}{4}

1

\frac{3}{2}

3

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 不等式：一次函数只看端点

证明：0 ≤ a, b, c ≤ 1 时，a + b + c − ab − bc − ca ≤ 1

第 1 / 5 步

选 a 当自变量
把 $b$ 、 $c$ 冻住，只让 $a$ 动。式子里 $a$ 的次数是 $1$ ：它是 $a$ 的一次函数，图象是一条线段。

$g (a) = (1 - b - c) a + (b + c - b c)$
左端点 a = 0
右端点 a = 1
线段夹在两端之间
等号

第 2 站 · 最值：构造一元二次方程

例实数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 5$ ， $x y + y z + z x = 3$ 。求 $z$ 的最大值。

三个字母、两个条件， $z$ 不能直接解出来。但把 $z$ 冻住， $x$ 、 $y$ 的和与积都知道了——它们是某个二次方程的两根，而“有实根”就是一个关于 $z$ 的不等式。

构造以 x, y 为根的方程

第 1 / 4 步

和与积
$x + y = 5 - z$ ， $x y = 3 - z (x + y) = 3 - z (5 - z) = z^{2} - 5 z + 3$ 。

$x + y = 5 - z, x y = z^{2} - 5 z + 3$
造方程
有实根 ⇔ Δ ≥ 0
取等

同样的想法证明柯西不等式： $f (t) = \sum (a_{i} t - b_{i})^{2} \geq 0$ 对一切 $t$ 成立，这个二次函数的判别式就必须 $\leq 0$ ——展开就是 $(\sum a_{i} b_{i})^{2} \leq \sum a_{i}^{2} \sum b_{i}^{2}$ 。

第 3 站 · 方程：单调的奇函数

一题多解

解方程 $(2 x + 1)^{3} + (2 x + 1) + x^{3} + x = 0$ 。

硬展开

展开： $9 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2 = 0$ 。

试根 $x = - \frac{1}{3}$ ： $- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - 3 + 2 = 0$ ✓，于是 $(3 x + 1) (3 x^{2} + 3 x + 2) = 0$ 。

$3 x^{2} + 3 x + 2$ 的判别式 $9 - 24 < 0$ ，所以只有 $x = - \frac{1}{3}$ 。

代价一定能做，但要分解一个三次式，还要碰运气找有理根。

构造 f(t) = t³ + t

方程就是 $f (2 x + 1) + f (x) = 0$ 。 $f$ 是奇函数，所以 $f (2 x + 1) = - f (x) = f (- x)$ 。

$f$ 在 $R$ 上严格递增（两个增函数之和），所以 $2 x + 1 = - x$ ， $x = - \frac{1}{3}$ 。

代价两行做完；关键是看出两组式子“长得一样”。

注意第二种解法用到了两个性质：奇函数把“ $+$ ”变成“ $=$ ”，单调性把“函数值相等”变成“自变量相等”。少一个都不行（见本站的错误博物馆）。

第 4 站 · 多项式：造一个有很多根的多项式

已知多项式的若干个值，要求另一个值：把“已知”变成“根”。

例（美国数学奥林匹克 1975 年题的简化版）三次多项式 $f$ 满足 $f (k) = \frac{k}{k + 1}$ ， $k = 0, 1, 2, 3$ 。设 $g (x) = (x + 1) f (x) - x$ ，它是四次多项式，并且 $g (0) = g (1) = g (2) = g (3) = 0$ ，所以 $g (x) = c x (x - 1) (x - 2) (x - 3)$ 。常数 $c$ 由 $x = - 1$ 定出： $g (- 1) = 1 = c \cdot 24$ 。这就够算出 $f$ 在任何点的值了——留作练习 4。

练一练

练习 1基础

$a, b \in [0, 1]$ 。求 $2 a + 2 b - ab$ 的最大值。

练习 2提高

解方程 $x^{5} + x + (x - 2)^{5} + (x - 2) = 0$ 。

练习 3提高

$a, b, c \in [- 1, 1]$ 。求 $a + b + c - ab c$ 的最大值。

这里画的是

ab c + 2 - (a + b + c)

，界是

0

：它永远不小于

0

，正好说明

a + b + c - ab c \leq 2

。

练习 4挑战

三次多项式 $f$ 满足 $f (k) = \frac{k}{k + 1}$ （ $k = 0, 1, 2, 3$ ）。求 $f (4)$ 。

一句话

第 1 站 · 不等式：一次函数只看端点

证明：0 ≤ a, b, c ≤ 1 时，a + b + c − ab − bc − ca ≤ 1

第 2 站 · 最值：构造一元二次方程

构造以 x, y 为根的方程

第 3 站 · 方程：单调的奇函数

硬展开

构造 f(t) = t³ + t

第 4 站 · 多项式：造一个有很多根的多项式

练一练

错误博物馆 · 本站展品

二次函数也只看端点

函数不单调，却从 $f(u)=f(v)$ 推出 $u=v$