三角代换与综合应用

一句话

有些代数式天生长在圆上： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 说的是点 $(x, y)$ 在圆上， $1 - x^{2}$ 是上半圆的高度， $\frac{2 x}{1 + x ^{2}}$ 是倍角的正弦。把 $x$ 、 $y$ 换成三角函数，约束就自动满足了，剩下的是一个单变量的三角函数问题——通常一个辅助角就能收尾。

例：x² + y² = 4，求 x + √3 y 的最大值和最小值

第 1 / 4 步

约束变成参数
点 $(x, y)$ 在半径为 $2$ 的圆上，所以可以写成 $x = 2 cos t$ ， $y = 2 sin t$ 。不管 $t$ 取什么，约束都成立。

$x = 2 cos t, y = 2 sin t$
目标变成三角式
最大值：相切
最小值：另一侧相切

第 1 站 · 根式：上半圆

$1 - x^{2}$ 是单位圆上半部分的高度。令 $x = cos t$ ， $t \in [0, π]$ ，就有 $1 - x^{2} = sin t$ 。注意 $t$ 的范围——它决定了点只能在上半圆上走。

例：求 y = x + √(1 − x²) 的值域

第 1 / 3 步

代换
$x \in [- 1, 1]$ 。令 $x = cos t$ ， $t \in [0, π]$ ： $x$ 恰好取遍 $[- 1, 1]$ ，而且 $sin t \geq 0$ 。

$y = cos t + sin t = 2 sin (t + \frac{π}{4})$
最大值
最小值在端点

第 2 站 · 分式：万能代换

令 $x = tan t$ ， $t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，则

\frac{2 x}{1 + x ^{2}} = sin 2 t, \frac{1 - x ^{2}}{1 + x ^{2}} = cos 2 t .

$x$ 可以跑到无穷远，这两个分式却被关在圆里。

先猜后证

$x$ 取遍全体实数时， $\frac{2 x}{1 + x ^{2}}$ 的最大值是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 3 站 · 两个式子一起换

形如 $\frac{x + y}{1 - x y}$ 的式子，令 $x = tan α$ 、 $y = tan β$ ，就是 $tan (α + β)$ ；两个约束 $a^{2} + b^{2} = 1$ 、 $c^{2} + d^{2} = 1$ 同时出现，就两组各换一个角。下面看后一种，两种写法解的是同一道题。

一题多解

已知 $a^{2} + b^{2} = 1$ ， $c^{2} + d^{2} = 1$ ，求 $a c + b d$ 的最大值。

三角代换

令 $a = cos α$ ， $b = sin α$ ， $c = cos β$ ， $d = sin β$ ，则

$a c + b d = cos α cos β + sin α sin β = cos (α - β) \leq 1,$

$α = β$ 时取等号。几何上， $a c + b d$ 就是两个单位向量的夹角余弦。

代价要设两个角，但结论一眼可见。

均值不等式

$a c \leq \frac{a ^{2} + c ^{2}}{2}$ ， $b d \leq \frac{b ^{2} + d ^{2}}{2}$ ，相加得 $a c + b d \leq \frac{1 + 1}{2} = 1$ ，在 $a = c$ 、 $b = d$ 时取等号。

代价一行，但要看出“配对”。

练一练

练习 1基础

实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $3 x + 4 y$ 的最大值。

练习 2提高

求函数 $y = x + 4 - x^{2}$ 的最小值。

练习 3提高

$x$ 取遍全体实数。求 $\frac{1 - x ^{2} + 2 3 x}{1 + x ^{2}}$ 的最大值。

练习 4挑战

实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $(x + 1) (y + 1)$ 的最小值。

一句话

例：x² + y² = 4，求 x + √3 y 的最大值和最小值

第 1 站 · 根式：上半圆

例：求 y = x + √(1 − x²) 的值域

第 2 站 · 分式：万能代换

第 3 站 · 两个式子一起换

三角代换

均值不等式

练一练

错误博物馆 · 本站展品

代换之后忘了限定角的范围