函数方程：赋值法

这一招在做什么

函数方程对一切 $x$ 、 $y$ 成立，所以你可以挑对自己最有利的值代进去。常用的几步：

操作台的右边是一台“候选函数检测仪”：你选的每一次赋值，都会拿去检验当前的候选 $f$ 。一次赋值只能排除一部分候选；几次合起来，就只剩下一个。

先猜后证

$f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) + 2 f (y)$ 对一切实数成立，且 $f (1) = 1$ 。 $f (2)$ 等于多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

先求 f(0)
令 $x = y = 0$ ： $f (0) = 2 f (0)$ ，所以 $f (0) = 0$ 。右边的候选 $f \equiv 0$ 当然通过——它通过了这一条，却不满足 $f (1) = 3$ 。

$f (0) = 2 f (0) \Rightarrow f (0) = 0$
y = −x
y = 1：递推
猜，并检验
还差什么

Break it

结论： $f (x y) = f (x) f (y) - f (x + y) + 1$ 的解只有 $f (x) = x + 1$

有了 $f (1) = 2$ ： $y = 1$ 给出 $f (x + 1) = f (x) + 1$ ， $x = 1, y = - 1$ 给出 $f (- 1) = 0$ ……候选 $x + 1$ 通过一切检验。

练习 1基础

$f (x + y) = f (x) + f (y) + x y$ 对一切实数成立， $f (1) = 1$ 。求 $f (4)$ 。

练习 2基础

$f (x y) = f (x) + f (y)$ 对一切正数 $x, y$ 成立， $f (2) = 1$ 。求 $f (\frac{1}{4})$ 。

练习 3提高

$f (x y) = f (x) f (y) - f (x + y) + 1$ 对一切实数成立， $f (1) = 2$ 。求 $f (- 2)$ 。

练习 4挑战

求所有函数 $f : R \to R$ ，使 $f (x) f (y) - f (x y) = x + y$ 对一切实数 $x, y$ 成立。（填 $f (x)$ 的表达式。）