利用移轴化简方程

这一招在做什么

坐标轴平移：原点搬到 $O^{'} (h, k)$ ，两条轴方向不变。同一个点的新旧坐标满足

x = x^{'} + h, y = y^{'} + k .

曲线本身没动，只是方程换了一副样子。对没有 $x y$ 项的方程 $A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ ：

配方：把 $x$ 的项、 $y$ 的项各自配成完全平方，读出 $h, k$ 。
移轴：令 $x^{'} = x - h$ ， $y^{'} = y - k$ ，一次项消失（抛物线型只能消去一个一次项和常数项）。
对表：看 $A, C$ 的符号——同号是椭圆型（椭圆、一点或没有轨迹），异号是双曲线型（双曲线或两条相交直线），有一个为零是抛物线型（抛物线、两条平行直线、两条重合直线或没有轨迹）。

先猜后证

把原点移到哪一点，能消去 $x^{2} + 4 y^{2} - 4 x + 16 y + 4 = 0$ 的两个一次项？

(2, - 2)

(- 2, 2)

(4, - 16)

(- 4, 16)

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

原样
新原点还在 $(0, 0)$ ，方程没变。 $A = 4$ 、 $C = - 9$ 异号：双曲线型。

$4 x^{2} - 9 y^{2} + 16 x + 18 y - 29 = 0$
配 x
配 y
常数项
标准方程

Break it

结论：移轴就能化成标准方程

没有 $x y$ 项时，配方把 $x$ 和 $y$ 分开处理，移到中心后只剩 $A x^{'2} + C y^{'2} + F^{'} = 0$ 。

x^{2} - y^{2} - 2 x + 4 y - 7 = 0

：找出中心。

练习 1基础

移轴消去 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 6 = 0$ 的一次项后，新方程的常数项是多少？

练习 2基础

化简 $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y - 8 = 0$ ，求这个椭圆的长半轴长。

练习 3提高

抛物线 $y^{2} - 4 y - 4 x + 12 = 0$ 的焦点是 $(m, n)$ 。求 $m$ 。

练习 4挑战

$k$ 取何值时，方程 $x^{2} - 2 y^{2} + 4 x + 4 y + k = 0$ 的图形是两条相交直线？