函数迭代的定义

观察

1. 用 $f(x)=\frac{1}{2}x+1$（$k=0.5$），从 $x_0=0$ 出发连按“迭代一次”。轨道表里的数在向哪个数靠拢？它和图上的哪个交点有关？
2. 把 $k$ 拖到 $1.5$。同样的起点，轨道怎么了？
3. 把 $k$ 拖到 $-0.5$。红线不再是“台阶”，而是绕成了什么形状？
4. 换成 $f(x)=\frac{1}{1-x}$，从 $x_0=3$ 出发。迭代几次之后回到了起点？换别的起点试试。
5. 换成 $f(x)=x^2+k$，$k=-2$。把起点放在 $-1$ 或 $2$ 上，轨道还动吗？

为什么

定义 设 $f:D\to D$。规定 $f^{(0)}(x)=x$，$f^{(n+1)}(x)=f\left(f^{(n)}(x)\right)$。$f^{(n)}$ 叫做 $f$ 的 $n$ 次迭代。数列 $x_0,f(x_0),f^{(2)}(x_0),\dots$ 叫做 $x_0$ 的轨道。

要能一直迭代下去，$f$ 的值必须还落在定义域 $D$ 里——这就是定义要求 $f:D\to D$ 的原因。满足 $f(x^{\ast })=x^{\ast }$ 的点叫 不动点。

最后一步里那个等式已经是“$n$ 次迭代的公式”了。怎样一般地求出 $f^{(n)}(x)$，是下一站的内容。

如果去掉一个条件

练一练