反三角函数

观察

拖动 $a$ ：水平线 $y = a$ 和整条正弦曲线有无穷多个交点（空心点）。知道正弦值，猜不出角。
着色的那一段 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上，正弦单调递增，取遍 $[- 1, 1]$ ，每个 $a$ 只对应一个点。
点“沿 $y = x$ 翻折”：这一段翻过去，就是 $y = arcsin x$ 的图象。定义域 $[- 1, 1]$ ，值域 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 。
换成“第 1 支”：它也单调，也能翻折——但翻出来的是 $π - arcsin x$ ，不是 $arcsin x$ 。
换成 $cos$ 、 $tan$ ：它们的“第 0 支”分别是 $[0, π]$ 和 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 。

所以 $arcsin a$ 的意思是：在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 里正弦等于 $a$ 的那个角。同理

arccos a \in [0, π], arctan a \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) .

先猜后证

$arcsin (sin \frac{4 π}{5})$ 等于多少？

\frac{4 π}{5}

\frac{π}{5}

- \frac{π}{5}

没有意义

先选定答案，才能看到结论。

为什么要截一段

从 y = sin x 到 y = arcsin x

第 1 / 6 步

整条曲线不能反过来
$sin x = \frac{1}{2}$ 的解有无穷多个。一个 $y$ 对应很多 $x$ ，“由 $y$ 求 $x$ ”就不是函数。

$sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{7 π}{6}, \dots$
截一段单调的
沿 y = x 翻折
别的单调段呢？
余弦换一段
正切：开区间

从图象的对称性还能读出几条常用关系： $arcsin (- x) = - arcsin x$ ， $arctan (- x) = - arctan x$ （奇函数）， $arccos (- x) = π - arccos x$ ，以及 $arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}$ 。

如果去掉主值区间

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $arcsin (sin x) = x$

$x$ 只能在主值区间里拖。圆点始终落在 $y = x$ 上。

练一练

练习 1基础

求 $arccos (- \frac{1}{2})$ ，用度数表示。

练习 2基础

求 $arcsin (sin 13 0^{\circ})$ ，用度数表示。

练习 3提高

求 $arctan \frac{1}{2} + arctan \frac{1}{3}$ ，用度数表示。

练习 4挑战

求 $sin (2 arctan 3)$ 。

观察

为什么要截一段

从 y = sin x 到 y = arcsin x

如果去掉主值区间

反例实验室：去掉一个条件

练一练

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正切值是 −1，就说角是 −π/4