数形结合

一句话

同一个式子，常常有一个“形”的身份：

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} \to 距离, \frac{y - b}{x - a} \to 斜率, ∣ z - w ∣ \to 距离

代数式算起来要讨论、要求导，图形上却往往“一眼看出”——两点之间线段最短，切线是斜率的边界，圆上的点离定点最远是过圆心的那一点。数形结合就是在“数”和“形”之间来回翻译：用形找方向，用数写严格。

先猜后证

$f (x) = x^{2} + 4 + (x - 3)^{2} + 1$ 的最小值是多少？

10

32

13 + 1

先选定答案，才能看到结论。

例：根号之和的最小值

第 1 / 5 步

把根号读成距离
$x^{2} + 4 = (x - 0)^{2} + (0 - 2)^{2}$ 是点 $P (x, 0)$ 到 $A (0, 2)$ 的距离； $(x - 3)^{2} + 1$ 是 $P$ 到 $B (3, 1)$ 的距离。

$f (x) = ∣ P A ∣ + ∣ P B ∣$
动一动 P
对称：把折线拉直
取等
翻译回去

第 1 站 · 二次方程根的分布（卷二）

“方程的根在哪儿”是数的问题；“抛物线和 $x$ 轴在哪儿相交”是形的问题。后者只需看几处：开口、对称轴、端点处的函数值、判别式。

例：x² − 2ax + a + 2 = 0 的两个实根（可以相等）都在区间 (0, 3) 内，求 a 的范围

第 1 / 4 步

画出来
设 $f (x) = x^{2} - 2 a x + a + 2$ ，开口向上。两根都在 $(0, 3)$ 内，图上就是：抛物线与 $x$ 轴的交点（或切点）落在 $0$ 与 $3$ 之间。

$f (x) = x^{2} - 2 a x + a + 2$
从图读出四个条件
逐个化简
取交集

这四个条件缺一不可：只要求 $f (0) > 0$ 、 $f (3) > 0$ ，两根也可能都在 $3$ 的右边——画一条对称轴在 $x = 5$ 的抛物线就看到了。

第 2 站 · 复数的模（卷四）

$∣ z - w ∣$ 是复平面上点 $z$ 到点 $w$ 的距离。于是“模的最值”变成“圆上一点到定点的距离的最值”。

例：|z − 3 − 4i| = 2，求 |z| 的最大值与最小值

第 1 / 4 步

翻译
$∣ z - (3 + 4 i) ∣ = 2$ ：点 $z$ 在以 $C (3, 4)$ 为圆心、 $2$ 为半径的圆上。 $∣ z ∣$ 是 $z$ 到原点 $O$ 的距离。

$∣ z - (3 + 4 i) ∣ = 2, ∣ z ∣ = ∣ O Z ∣$
圆心到定点
过圆心的直线
取等点

第 3 站 · 三角函数的值域（卷三）

$\frac{sin θ}{cos θ - 2}$ 像一道三角题，可它正好是“单位圆上的点 $Q (cos θ, sin θ)$ 与定点 $P (2, 0)$ 连线的斜率”。

拖动

Q

绕单位圆一周。斜率在哪两个位置到达边界？按“画出两条切线”核对。

一题多解

求 $y = \frac{sin θ}{cos θ - 2}$ 的值域。

看成斜率

$y$ 是 $P Q$ 的斜率， $Q$ 在单位圆上。过 $P (2, 0)$ 的直线 $y = k (x - 2)$ 与圆相切时，圆心到直线距离 $\frac{∣2 k ∣}{k ^{2} + 1} = 1$ ，得 $k = \pm \frac{3}{3}$ 。 $Q$ 在圆上走一圈，斜率在两条切线之间连续变化，所以值域是 $[- \frac{3}{3}, \frac{3}{3}]$ 。

代价一张图就知道答案和取到边界的位置。

辅助角

$y cos θ - 2 y = sin θ$ ，即 $sin θ - y cos θ = - 2 y$ ，左边 $= 1 + y^{2} sin (θ - φ)$ 。有解当且仅当 $∣2 y ∣ \leq 1 + y^{2}$ ，即 $3 y^{2} \leq 1$ ，同样得 $- \frac{3}{3} \leq y \leq \frac{3}{3}$ 。

代价纯代数，但要先把 y 移到另一边。

第 4 站 · 曲线与方程（卷七）

方程有几个根？把它拆成 “左边 $=$ 右边”，各画一条曲线，数交点。

例：讨论 √(4 − x²) = x + m 的实根个数

第 1 / 4 步

左边是半圆
$y = 4 - x^{2}$ 等价于 $x^{2} + y^{2} = 4$ 且 $y \geq 0$ ：以原点为圆心、半径 $2$ 的上半圆，端点 $(- 2, 0)$ 、 $(2, 0)$ 。

$y = 4 - x^{2} ⟺ x^{2} + y^{2} = 4, y \geq 0$
右边是一族平行线
找关键位置
读答案

练一练

练习 1基础

求 $x^{2} + 1 + (x - 4)^{2} + 4$ 的最小值。

练习 2基础

复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 1$ ，求 $∣ z - 3 - 4 i ∣$ 的最大值。

练习 3提高

方程 $∣ x^{2} - 4 x + 3∣ = 1$ 有几个实根？

练习 4挑战

实数 $x, y$ 满足 $(x - 5)^{2} + y^{2} = 9$ ，求 $\frac{y}{x}$ 的最大值。

一句话

例：根号之和的最小值

第 1 站 · 二次方程根的分布（卷二）

例：x² − 2ax + a + 2 = 0 的两个实根（可以相等）都在区间 (0, 3) 内，求 a 的范围

第 2 站 · 复数的模（卷四）

例：|z − 3 − 4i| = 2，求 |z| 的最大值与最小值

第 3 站 · 三角函数的值域（卷三）

看成斜率

辅助角

第 4 站 · 曲线与方程（卷七）

例：讨论 √(4 − x²) = x + m 的实根个数

练一练

错误博物馆 · 本站展品

两点在同侧，也直接连线

半圆当成了整圆

这条线路经过的站