柯西不等式及其证明

观察

两个向量 $u = (a_{1}, a_{2})$ 、 $v = (b_{1}, b_{2})$ 的数量积是 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ$ ，而 $∣ cos θ ∣ \leq 1$ 。平方一下就是

(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) .

把两个数换成 $n$ 个数，就是柯西不等式：对任意实数 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 与 $b_{1}, \dots, b_{n}$ ，

(i = 1 \sum n a_{i} b_{i})^{2} \leq (i = 1 \sum n a_{i}^{2}) (i = 1 \sum n b_{i}^{2}),

当且仅当两组数成比例（存在 $λ$ 使 $b_{i} = λ a_{i}$ 对所有 $i$ 成立，或 $a_{i}$ 全为 $0$ ）时等号成立。

先猜后证

$u = (3, 4)$ ， $v$ 的长度是 $2$ ，方向任意。 $u \cdot v$ 最大能是多少？

先选定答案，才能看到结论。

几何的说法只管 $n = 2, 3$ 。对任意 $n$ ，有一个只用中学代数的证明：平方和不会是负数。

第 1 / 5 步

造一个平方和
取一个变量 $t$ ，把每一对数拼成 $(a_{i} t - b_{i})^{2}$ ，再全部加起来。虚线是每一项，实线是它们的和。每一项都 $\geq 0$ ，所以 $f (t) \geq 0$ 对所有 $t$ 成立。

$f (t) = i = 1 \sum n (a_{i} t - b_{i})^{2} \geq 0$
展开成二次函数
不入水 ⇒ 判别式不为正
什么时候碰到 t 轴
反过来也对

判别式说明了“不会反过来”，但没有说明差了多少。对 $n = 2$ 直接展开：

第 1 / 5 步

先算数
$u = (3, 1)$ ， $v = (1, 2)$ ：左边 $(3 + 2)^{2} = 25$ ，右边 $10 \times 5 = 50$ ，差 $25$ 。

$(3 \cdot 1 + 1 \cdot 2)^{2} = 25 \leq 50 = (3^{2} + 1^{2}) (1^{2} + 2^{2})$
展开右边
剩下的是完全平方
压扁它
n 个数也一样

三个证明，三种眼光：夹角（ $∣ cos θ ∣ \leq 1$ ）、判别式（抛物线不入水）、配方（差是平方和）。它们说的是同一件事：松紧完全由“两组数离成比例有多远”决定。

练习 1基础

实数 $x, y$ 满足 $3 x + 4 y = 10$ 。求 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值。

练习 2基础

实数 $x, y, z$ 满足 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ 。求 $x + 2 y + 2 z$ 的最大值。

练习 3提高

实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + 4 y^{2} = 5$ 。求 $x + y$ 的最大值。

练习 4挑战

设 $a, b > 0$ 。证明 $(a^{3} + b^{3}) (a + b) \geq (a^{2} + b^{2})^{2}$ ，并指出等号何时成立。