复数的模与辐角（一）

观察

把 $w$ 拖到单位圆上（ $∣ w ∣ = 1$ ）。乘以 $w$ 之后， $z$ 的长度变了吗？只做了什么？
把 $w$ 拖到正实轴上。乘以 $w$ 之后，方向变了吗？只做了什么？
一般的 $w$ ：浅红的三角形 $O - 1 - z$ 和绿色的三角形 $O - w - z w$ 形状一样吗？
看圆弧：红弧是 $ar g z$ ，蓝弧接在它后面是 $ar g w$ ，绿色虚线弧是 $ar g (z w)$ 。什么时候“辐角”读数出现了警告？

点 $Z$ 对应复数 $z = a + bi$ 。向量 $O Z$ 的长度 $r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ 叫模；以 $x$ 轴正半轴为始边、 $O Z$ 为终边的角 $θ$ 叫辐角，记作 $Arg z$ 。辐角有无穷多个，彼此差 $36 0^{\circ}$ 的整数倍；落在 $[0, 2 π)$ 里的那个叫辐角主值，记作 $ar g z$ 。于是

z = r (cos θ + i sin θ) (r > 0)

这叫复数的三角形式。它的好处全在乘法上：

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2})] .

先猜后证

$(1 + i)^{8}$ 等于多少？

先选定答案，才能看到结论。

为什么

乘法法则：模相乘，辐角相加

第 1 / 5 步

写成三角形式
设 $z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1})$ ， $z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$ 。图上 $r_{1} = r_{2} = 1.5$ ， $θ_{1} = 3 0^{\circ}$ ， $θ_{2} = 6 0^{\circ}$ 。

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos θ_{1} + i sin θ_{1}) (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$
照常展开
认出和角公式
几何地看：相似三角形
同一个数乘 n 次

开方：正多边形

反过来解 $w^{n} = b$ 。设 $b = ρ (cos φ + i sin φ)$ ， $w = s (cos α + i sin α)$ ，由棣莫弗定理得 $s^{n} = ρ$ ， $n α = φ + 36 0^{\circ} k$ 。

求 −1 的 6 次方根

第 1 / 4 步

写出 b 的三角形式
$- 1 = cos 18 0^{\circ} + i sin 18 0^{\circ}$ ，模 $1$ ，辐角 $18 0^{\circ}$ 。

$w^{6} = - 1 = cos 18 0^{\circ} + i sin 18 0^{\circ}$
模和辐角各自解
为什么只有 6 个
它们排成正六边形

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $ar g (z w) = ar g z + ar g w$

两个辐角主值加起来不到一整圈时，和本身就在 $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ 里，它就是积的辐角主值。

练一练

练习 1基础

求 $z = - 1 + 3 i$ 的辐角主值（用角度表示，填数字）。

练习 2基础

计算 $(cos 2 0^{\circ} + i sin 2 0^{\circ})^{9}$ 。

练习 3提高

计算 $(1 + i)^{10}$ ，写成 $a + bi$ 的形式。

练习 4挑战

方程 $z^{4} = - 16$ 的四个根在复平面上围成一个四边形，求它的面积。

观察

为什么

乘法法则：模相乘，辐角相加

开方：正多边形

求 −1 的 6 次方根

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

模写成了负数

看到 cosθ − i sinθ 就说辐角是 θ