柯西不等式与分式不等式

这一招在做什么

柯西不等式的分式形式 $\sum \frac{x _{i}^{2}}{y _{i}} \geq \frac{( \sum x _{i} ) ^{2}}{\sum y _{i}}$ （ $y_{i} > 0$ ）专治“一串分式相加”。分子不是平方时，先给它配一个平方：

分子分母同乘一个正的式子，使每一项都成为 $\frac{( \dots ) ^{2}}{( \dots )}$ 。乘什么，要让合并后的分子、分母好算（最好是对称式或已知量）。
一次合并： $\sum \frac{x _{i}^{2}}{y _{i}} \geq \frac{( \sum x _{i} ) ^{2}}{\sum y _{i}}$ 。
剩下的是一个整式不等式，检查它是否成立、等号是否与第 2 步的等号条件一致。

关键在第 1 步。同一个分式有很多种“配平方”的写法，它们合并后的下界各不相同——有的处处高于目标，有的会跌破目标。

先猜后证

要证 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$ （ $a, b, c > 0$ ）。把每一项写成 $\frac{( a ) ^{2}}{b + c}$ 再合并，能证出来吗？

能不能只有

a, b, c

全相等时能

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

这是著名的 Nesbitt 不等式（1903 年）。

例：a, b, c > 0，证明 a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≥ 3/2

第 1 / 5 步

最省事的配法——失败
分子 $a = (a)^{2}$ ，直接合并。在 $a, b, c = 1, 2, 3$ 时，下界约 $1.43$ ，已经低于 $1.5$ 。

$S \geq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{2 ( a + b + c )} \leq \frac{3}{2}$
分子分母同乘 a
剩下的整式不等式
两个等号条件一致
不是越“高次”越好

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：合并后的下界对所有正数 $a, b, c$ 都不低于 $\frac{3}{2}$

这条路处处走得通：右下角“扫遍所有 $a, b, c$ ”的读数正好是 $1.5$ ，在 $a = b = c$ 时取到。

练一练

练习 1基础

正数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 3$ 。求 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c + 1}$ 的最小值。

练习 2基础

正数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 1$ 。求 $\frac{x ^{2}}{y + z} + \frac{y ^{2}}{z + x} + \frac{z ^{2}}{x + y}$ 的最小值。

练习 3提高

设 $a, b, c > 0$ 。证明 $\frac{a}{b + 2 c} + \frac{b}{c + 2 a} + \frac{c}{a + 2 b} \geq 1$ 。

练习 4挑战

（1995 年国际数学奥林匹克试题）正数 $a, b, c$ 满足 $ab c = 1$ 。证明 $\frac{1}{a ^{3} ( b + c )} + \frac{1}{b ^{3} ( c + a )} + \frac{1}{c ^{3} ( a + b )} \geq \frac{3}{2}$ 。

这一招在做什么

跟着做一遍

例：a, b, c > 0，证明 a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≥ 3/2

什么时候不灵

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

合并出来的下界比目标还小