和差角、倍角与半角公式

这一招在做什么

一切从一条公式出发：

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β .

把 $β$ 换成 $- β$ 得差角公式；两式相除得 $tan (α \pm β) = \frac{tan α \pm tan β}{1 \mp tan α tan β}$ ；令 $β = α$ 得倍角公式

sin 2 α = 2 sin α cos α, cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α;

把最后两个等号倒过来读，就是降次（升角）公式 $cos^{2} α = \frac{1 + cos 2 α}{2}$ 、 $sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}$ ；再把 $α$ 换成 $\frac{α}{2}$ ，就是半角公式。用的时候，按这三步走：

看角：要求的角能不能由已知的角拼出来？例如 $β = (α + β) - α$ ， $2 α = (α + β) + (α - β)$ ， $α = 2 \cdot \frac{α}{2}$ 。
选公式：拼角用和差公式；角翻倍或减半用倍角、半角；次数太高就降次。
定符号：每次开平方，都先确定角的范围，再决定取正还是取负。

先猜后证

$α$ 、 $β$ 都是锐角。 $sin (α + β)$ 与 $sin α + sin β$ 比较，哪个大？

sin (α + β)

大

sin α + sin β

大不一定，要看

α, β

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 7 步

搭一个直角三角形
$O P = 1$ ，与 $x$ 轴成 $α + β$ ，所以 $P$ 的高度就是 $sin (α + β)$ 。在角 $α$ 的终边上取 $Q$ ，使 $∠ O QP = 9 0^{\circ}$ ：斜边为 $1$ 、夹角为 $β$ ，于是 $O Q = cos β$ ， $QP = sin β$ 。

$O Q = cos β, QP = sin β$
下面的三角形
上面的小三角形：角 α 又出现了
拼起来
横着看：余弦
β 取负：差角公式
β = α：倍角公式

“看角”之后还要“定范围”。由 $sin (α + β)$ 求 $cos (α + β)$ 要开平方，开方的正负取决于 $α + β$ 是锐角还是钝角。

Break it

结论：由 $sin (α + β) = \frac{3}{2}$ 可得 $cos (α + β) = \frac{1}{2}$

$α = 4 0^{\circ}$ ， $β = 2 0^{\circ}$ ：读数卡显示 $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 。切到余弦，正是 $\frac{1}{2}$ 。

练习 1基础

求 $cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}$ 的值。

练习 2基础

已知 $tan α = 2$ ，求 $tan 2 α$ 。

练习 3提高

$α$ 、 $β$ 都是锐角， $cos α = \frac{4}{5}$ ， $cos (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $cos β$ 。

练习 4挑战

（经典问题）求 $cos \frac{π}{7} cos \frac{2 π}{7} cos \frac{4 π}{7}$ 的值。