二次函数

观察

让抛物线往上平移（增大 $c$ ），直到两个根合二为一，再继续往上。哪个条件先变成 ✗？
只动 $b$ ，把对称轴推出区间。两个端点的函数值可能还是正的，但真实的根跑到哪里去了？
切换到“ $m$ 在两根之间”。为什么这时只需要一个条件？
切换到“两根都大于 $m$ ”。和“两根都在 $(m, n)$ 内”相比，少了哪一条？

二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq = 0$ ）的图象是抛物线，对称轴 $x = - \frac{b}{2 a}$ ， $a > 0$ 时开口向上，在对称轴左边递减、右边递增，最小值 $\frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}$ 。研究“方程的根在哪里”，就是研究抛物线和 $x$ 轴的交点在哪里。以 $a = 1$ 为例：

两根都在 (m, n) 内 ⟺ Δ \geq 0, m < - \frac{b}{2} < n, f (m) > 0, f (n) > 0 .

m 在两根之间 ⟺ f (m) < 0 .

先猜后证

$f (x) = x^{2} + b x + c$ 。只要 $f (0) > 0$ 且 $f (1) > 0$ ，就能保证方程 $f (x) = 0$ 的两根都在 $(0, 1)$ 内吗？

能不能

先选定答案，才能看到结论。

为什么：逐条检查，看哪一条在把关

例：x² − 2ax + a + 2 = 0 的两根都在 (0, 3) 内，求 a 的范围

第 1 / 5 步

判别式
$a = 1$ 时 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ ， $Δ < 0$ ，抛物线整个在 $x$ 轴上方。要有根，需 $Δ = 4 a^{2} - 4 (a + 2) \geq 0$ ，即 $a \leq - 1$ 或 $a \geq 2$ 。（这里要两个不同的根，就取 $>$ 。）

$Δ = 4 (a^{2} - a - 2) > 0 ⟺ a < - 1 或 a > 2$
对称轴
右端点
左端点
取交集

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：对称轴在 $(0, 3)$ 内、 $f (0) > 0$ 、 $f (3) > 0$ 时，两根都在 $(0, 3)$ 内

$x^{2} - 3 x + 1$ ： $Δ = 5 > 0$ ，对称轴 $\frac{3}{2}$ ， $f (0) = f (3) = 1 > 0$ 。两根 $\frac{3 \pm 5}{2}$ 都在区间里。

练一练

练习 1基础

$f (x) = x^{2} + b x + c$ 对任意实数 $t$ 都有 $f (2 + t) = f (2 - t)$ ，且 $f (1) = - 3$ 。求 $f (4)$ 。

练习 2基础

方程 $x^{2} - m x + 4 = 0$ 的两个实根（可以相等）都大于 $1$ 。求 $m$ 的最小值。

练习 3提高

方程 $2 x^{2} - a x + 1 = 0$ 的一个根在 $(0, 1)$ 内，另一个根在 $(1, 2)$ 内。求整数 $a$ 。

练习 4挑战

方程 $x^{2} + (a - 3) x + a = 0$ 的两个实根（可以相等）都在 $(0, 2)$ 内。求 $a$ 的最大值。

观察

为什么：逐条检查，看哪一条在把关

例：x² − 2ax + a + 2 = 0 的两根都在 (0, 3) 内，求 a 的范围

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

“两根都大于 1”只写 $f(1)>0$

有了对称轴和端点，就忘了判别式