极端原理

一句话

最小数原理：自然数集的任何非空子集都有最小数；有限的非空实数集既有最小数，也有最大数。

道理平淡无奇，用法却很巧：在一堆对象里挑出“最”的那一个（最大、最小、最远、最多……），它身上的极端性往往是论证缺的那一块。下面先在一场比赛里看它怎么用。

先猜后证

$5$ 人循环赛（每两人赛一场，没有平局）。胜场最多的人，有没有可能只赢了 $2$ 场？

不可能，至少要赢

3

场可能

先选定答案，才能看到结论。

定理：循环赛中，胜场最多的选手 $X$ 对任何其他选手 $Y$ ，要么直接赢了 $Y$ ，要么赢了某个赢过 $Y$ 的人。

第 1 / 4 步

论证里一次也没有用到“赛了几个人”“谁赢了谁”，只用了一句话：没有人比 $E$ 赢得更多。

有限个互不相同的实数，能不能每一个都恰好是另外某两个数的平均数？

取其中最大的数 $M$ 。若 $M = \frac{a + b}{2}$ ，其中 $a, b$ 是另外两个数，则 $a, b$ 都小于 $M$ ，平均数也小于 $M$ ，矛盾。所以不能。

Break it

结论：不可能每个数都是另外两个数的平均数

有限时，最大的那个数“没有人比它大”，它就当不了别人的平均数。

西尔维斯特–加莱定理：平面上有限个点不全在一条直线上，则一定有一条直线恰好经过其中两点。（下面是凯利给出的极端原理证明。）

第 1 / 4 步

挑极端
看所有“过其中至少两点的直线 $ℓ$ ”和“不在 $ℓ$ 上的点 $P$ ”的组合。组合有有限个，且至少有一个（点不全共线）。挑出 $P$ 到 $ℓ$ 的距离最小的那一对。

$d (P, ℓ) 最小$
假设 ℓ 上有三点
更近的一对
结论

三站里，“最”的对象分别是胜场最多的人、最大的数、最近的点线对。共同的步骤：确认这样的对象存在（有限），取出它，再说明“如果结论不对，就能找到比它更‘最’的对象”。

练习 1基础

$6$ 人循环赛（无平局）。胜场最多的人至少赢了几场？

练习 2基础

$7$ 个正整数的和是 $100$ 。其中最大的数至少是多少？

练习 3提高

$5$ 个实数排成一圈，每个数都等于它两个邻居的平均数。证明这 $5$ 个数全相等。

练习 4挑战

平面上有 $7$ 个点，两两距离互不相同。每个点都向离它最近的那个点射一箭。证明：至少有一个点没有被射中。