关于极值问题

一句话

求 $z = f (x, y)$ 在区域 $D$ 上的最值，就把 $f (x, y) = c$ 当成一族曲线（等值线）。 $c$ 取某个值时，等值线和 $D$ 有公共点， $z$ 才能取到这个值。所以：

z_{m a x} = 等值线离开 D 前的最后一个 c .

对一次式 $z = a x + b y$ ，等值线是一族平行直线； $D$ 是凸多边形时，最后碰到的总是顶点。

例：z = 2x + y 在三角形 ABC 上的最值

第 1 / 5 步

等值线
$A (- 2, 1)$ 、 $B (3, 4)$ 、 $C (4, - 2)$ 。 $c = 0$ 时直线 $2 x + y = 0$ 穿过三角形，说明 $z = 0$ 能取到。

$2 x + y = 0$
往右上推
最后一个点
离开了
反方向

先猜后证

同一个三角形 $A (- 2, 1)$ 、 $B (3, 4)$ 、 $C (4, - 2)$ 上， $z = x - y$ 的最大值是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 三个变量的线性问题

$x + y + z = 2$ ， $0 \leq x \leq 1$ ， $0 \leq y \leq 1$ ， $z \geq 0$ 。求 $F = x + 2 y + 3 z$ 的最值。

先用等式消去一个变量： $z = 2 - x - y$ ， $F = 6 - (2 x + y)$ ，条件变成 $0 \leq x \leq 1$ ， $0 \leq y \leq 1$ （ $z = 2 - x - y \geq 0$ 自动成立）。问题化成： $2 x + y$ 在正方形上的最值。

2 x + y

在

(0, 0)

取最小

0

，在

(1, 1)

取最大

3

。所以

F

的最大值

6

（

x = y = 0, z = 2

），最小值

3

（

x = y = 1, z = 0

）。

第 2 站 · 二次曲线上的一次式：等值线与曲线相切

区域换成椭圆 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} \leq 1$ ，目标仍是 $z = x + y$ 。等值线离开椭圆的那一刻，和椭圆相切。

把

c

推到

5

：直线和椭圆只剩一个公共点。

一题多解

点 $(x, y)$ 在椭圆 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 上，求 $x + y$ 的最大值。

等值线相切：判别式为 0

$y = c - x$ 代入： $9 x^{2} + 16 (c - x)^{2} = 144$ ，即 $25 x^{2} - 32 c x + 16 c^{2} - 144 = 0$ 。相切时 $Δ = 0$ ： $(32 c)^{2} = 100 (16 c^{2} - 144)$ ， $1024 c^{2} = 1600 c^{2} - 14400$ ， $c^{2} = 25$ ，最大值 $c = 5$ 。

代价代入、整理，算一次判别式。

离心角参数

$x + y = 4 cos φ + 3 sin φ = 5 sin (φ + φ_{0}) \leq 5$ ，其中 $tan φ_{0} = \frac{4}{3}$ 。取等时 $cos φ = \frac{4}{5}$ ， $sin φ = \frac{3}{5}$ ，切点 $(\frac{16}{5}, \frac{9}{5})$ 。

代价一行，还能顺便得到切点。

第 3 站 · 等值线不是直线

$z = x^{2} + y^{2}$ 的等值线是以原点为圆心的圆， $z$ 是到原点距离的平方； $z = \frac{y - 1}{x + 2}$ 的等值线是过 $(- 2, 1)$ 的直线， $z$ 是斜率。先认出等值线是什么，再看它最后在哪里碰到区域——可能是顶点，也可能是一条边的中间（见下面的错误博物馆），还可能是一个切点。

练一练

练习 1基础

$x \geq 0$ ， $y \geq 0$ ， $3 x + 4 y \leq 12$ 。求 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值。

练习 2基础

同一个区域上，求 $z = x - 2 y$ 的最小值。

练习 3提高

点 $(x, y)$ 在椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上。 $x + 2 y$ 的最大值记为 $M$ ，求 $M^{2}$ 。

练习 4挑战

$x + y \geq 2$ ， $x \leq 3$ ， $y \leq 3$ 。求 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值。

一句话

例：z = 2x + y 在三角形 ABC 上的最值

第 1 站 · 三个变量的线性问题

第 2 站 · 二次曲线上的一次式：等值线与曲线相切

等值线相切：判别式为 0

离心角参数

第 3 站 · 等值线不是直线

练一练

错误博物馆 · 本站展品

目标不是一次式，也只比较顶点

“截距越大，z 越大”