幂函数、指数函数和对数函数

观察

拖动 $P$ 。 $P$ 的横、纵坐标和 $Q$ 的横、纵坐标是什么关系？线段 $P Q$ 和直线 $y = x$ 是什么位置关系？
把 $a$ 从 $2$ 往下调。在 $a$ 大约等于多少时，两条曲线开始有公共点？（试试 $a = 1.44$ 。）
调到 $0 < a < 1$ ，比如 $a = 0.5$ 。公共点在哪里？再试 $a = 0.0625$ 。
切到“幂函数”，依次点各个 $α$ 。哪些图象都经过同一个点？ $α > 0$ 和 $α < 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性有什么区别？

$y = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq = 1$ ）的定义域是 $R$ ，值域 $(0, + \infty)$ ；它的反函数是 $y = lo g_{a} x$ ，定义域 $(0, + \infty)$ ，值域 $R$ 。 $a > 1$ 时两者都递增， $0 < a < 1$ 时都递减。互为反函数的两个函数，图象关于直线 $y = x$ 对称：

(t, a^{t}) 在 y = a^{x} 上 ⟺ (a^{t}, t) 在 y = lo g_{a} x 上 .

幂函数 $y = x^{α}$ （ $α$ 是常数）的图象都过点 $(1, 1)$ ； $α > 0$ 时在 $(0, + \infty)$ 上递增， $α < 0$ 时递减。 $α = \frac{p}{q}$ （既约， $q > 0$ ）时， $q$ 为偶数则定义域不含负数； $q$ 为奇数时， $p$ 偶则为偶函数， $p$ 奇则为奇函数。

点遍八个

α

，用右边三个读数验证上面这段话。

先猜后证

$y = 1. 2^{x}$ 与 $y = lo g_{1.2} x$ 的图象有几个公共点？

0

个

1

个

2

个

3

个

先选定答案，才能看到结论。

为什么：a > 1 时公共点都在镜子上

a > 1 时，y = aˣ 与 y = logₐx 的公共点都在直线 y = x 上

第 1 / 5 步

镜像关系
$P$ 在指数曲线上，对调坐标得到的 $Q$ 就在对数曲线上， $P Q$ 被直线 $y = x$ 垂直平分。

$y = a^{x} ⟺ x = lo g_{a} y$
设出公共点
用单调性
底数大了，就碰不到
0 < a < 1 时证明失效

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $y = a^{x}$ 与 $y = lo g_{a} x$ 的公共点都在直线 $y = x$ 上

$a = 1.2$ ：两个公共点都落在虚线 $y = x$ 上。

练一练

练习 1基础

解方程 $2^{x} = 8^{x - 1}$ 。

练习 2基础

求函数 $y = lo g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4 x + 5)$ 的最大值。

练习 3提高

函数 $y = lo g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x - 3)$ 的单调递增区间是 $(- \infty, t)$ 。求 $t$ 。

练习 4挑战

方程 $(\frac{1}{16})^{x} = lo g_{\frac{1}{16}} x$ 有几个实数解？

观察

为什么：a > 1 时公共点都在镜子上

a > 1 时，y = aˣ 与 y = logₐx 的公共点都在直线 y = x 上

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

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求对数型复合函数的单调区间，忘了定义域