周期性

观察

选“三角波”。 $T$ 取哪些值时，最大错位降到 $0$ ？这些值之间有什么关系？
选“小数部分 ${x}$ ”，再选“三角波 + $\frac{1}{2} {x /3}$ ”。它们的最小正周期分别是多少？最后一个和 $2$ 、 $3$ 有什么关系？
选“对称的驼峰”，打开“两面镜子”。点 $x_{0}$ 先关于 $x = 0$ 反射，再关于 $x = 1$ 反射，一共走了多远？
如果 $T$ 是周期， $2 T$ 、 $3 T$ 是不是周期？在滑块上验证。

对函数 $f (x)$ ，如果存在非零常数 $T$ ，使得对定义域内每个 $x$ 都有

f (x + T) = f (x),

就说 $f (x)$ 是周期函数， $T$ 是它的一个周期。所有正周期中最小的一个（如果存在）叫最小正周期。在图上，这句话就是：图象整体右移 $T$ ，和原来完全重合。

先猜后证

$f$ 以 $2$ 为周期， $g$ 以 $3$ 为周期，它们定义在 $R$ 上。下面哪个数一定是 $f + g$ 的周期？

2

3

5

6

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

两面镜子
“偶函数”说图象关于 $x = 0$ 对称；“关于 $x = 1$ 对称”说 $f (1 + u) = f (1 - u)$ 对一切 $u$ 成立。图上两条点划线就是这两面镜子。

$f (- x) = f (x), f (1 + u) = f (1 - u)$
第一次反射
第二次反射
一共走了 2
一般结论

还有一类不画图也能看出的周期，它们都靠“做两次回到原样”：

第 1 / 3 步

f(x+a) = −f(x)
做两次： $f (x + 2 a) = - f (x + a) = f (x)$ ，周期 $2 a$ 。

$f (x + 2 a) = f (x)$
f(x+a) = 1/f(x)
f(x+a) = g(f(x))

练习 1基础

$f (x)$ 是以 $3$ 为周期的函数， $f (- 1) = 7$ 。求 $f (2027)$ 。

练习 2基础

$f (x)$ 定义在 $R$ 上， $f (x + 2) = - f (x)$ ， $f (1) = 2$ 。求 $f (7)$ 。

练习 3提高

$f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，图象关于直线 $x = 2$ 对称，且当 $0 \leq x \leq 2$ 时 $f (x) = x^{2}$ 。求 $f (7)$ 。

练习 4挑战

$f (x)$ 定义在 $R$ 上，函数值从不等于 $- 1$ ，且 $f (x + 3) = \frac{f ( x ) - 1}{f ( x ) + 1}$ ， $f (1) = 2$ 。求 $f (2026)$ 。