利用转轴化简方程

这一招在做什么

原点不动，两条坐标轴同时绕原点转过角 $θ$ 。点的新旧坐标满足

x = x^{'} cos θ - y^{'} sin θ, y = x^{'} sin θ + y^{'} cos θ .

代入 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ ，新的 $x^{'} y^{'}$ 项系数是

B^{'} = B cos 2 θ - (A - C) sin 2 θ .

选角：令 $B^{'} = 0$ ，即 $cot 2 θ = \frac{A - C}{B}$ ，取 $0 < θ < \frac{π}{2}$ 。 $A = C$ 时直接取 $θ = 4 5^{\circ}$ 。
代入：算出 $A^{'}, C^{'}, D^{'}, E^{'}$ （ $F$ 不变）。
再移轴：剩下的一次项交给上一站。

先猜后证

要消去 $x y = 2$ 中的 $x y$ 项，坐标轴应转过多少度？

3 0^{c} i r c

4 5^{c} i r c

6 0^{c} i r c

9 0^{c} i r c

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

化简 5x² + 4xy + 2y² − 6 = 0

第 1 / 5 步

原来的方程
$A = 5$ ， $B = 4$ ， $C = 2$ 。 $B^{2} - 4 A C = 16 - 40 = - 24 < 0$ ：椭圆型。图上是一个斜着放的椭圆。

$5 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} - 6 = 0$
随便转一下
算出正确的角
读出新方程
不变量

为什么 $A + C$ 不变？把二次部分写成 $A x^{2} + B x y + C y^{2}$ ，它的值只依赖于点，与坐标系无关；在单位圆上取两条互相垂直的方向求值相加，恰好是 $A + C$ （新坐标系里是 $A^{'} + C^{'}$ ），而这和取哪一对垂直方向无关。 $B^{2} - 4 A C$ 的不变性可以直接代公式验证。

练一练

练习 1基础

要消去 $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} - 4 = 0$ 的 $x y$ 项，坐标轴应转过的角 $θ$ （ $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ ）是多少度？

练习 2基础

把 $3 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} = 8$ 转轴化成 $A^{'} x^{'2} + C^{'} y^{'2} = 8$ 。 $A^{'}, C^{'}$ 中较大的一个是多少？

练习 3提高

曲线 $2 x^{2} - 4 x y + 5 y^{2} = 6$ 是椭圆。求它的长半轴长的平方。

练习 4挑战

双曲线 $x y = 8$ 在第一象限的焦点是 $(m, n)$ 。求 $m$ 。

这一招在做什么

跟着做一遍

化简 5x² + 4xy + 2y² − 6 = 0

练一练

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转角公式记反了符号