复数的模与辐角（二）

一句话

模服从三角不等式，可以放大缩小：

∣ z_{1} ∣ - ∣ z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} \pm z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣,

辐角告诉我们方向：如果一群复数都落在某个过原点的半平面里，它们的和就不可能是 $0$ 。本章的题目，几乎都是把这两招用在不同地方。

先看最典型的一次：多项式的根不会太大。设 $p (z) = z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{0}$ ， $A = max ∣ a_{i} ∣$ 。

所有根都满足 |z| < 1 + A

第 1 / 4 步

假设有一个大根
$p (z) = z^{3} - z^{2} + 2$ ， $A = 2$ ， $R = 3$ 。用反证法：假设某个根 $z_{0}$ 满足 $∣ z_{0} ∣ \geq 3$ 。图上把检验点放在圆外。

$z_{0}^{n} = - (a_{n - 1} z_{0}^{n - 1} + \dots + a_{0})$
两边取模，右边放大
再放一次
矛盾

先猜后证

$p (z) = z^{4} + 3 z^{2} - 2$ 。按上面的结论，可以断定所有根的模都小于多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 最值：模就是距离

“ $∣ z ∣ = 1$ 时求某个模的最大值”是最常见的题型：要么用三角不等式，要么把模读成距离。

一题多解

复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 1$ ，求 $∣ z - 3 - 4 i ∣$ 的最大值。

三角不等式

$∣ z - (3 + 4 i) ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣3 + 4 i ∣ = 1 + 5 = 6$ 。等号要求 $z$ 与 $- (3 + 4 i)$ 同向，即 $z = - \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ ，此时 $∣ z ∣ = 1$ 符合。最大值 $6$ 。

代价一行写完，但要单独检验等号能否取到。

看成距离

$z$ 在单位圆上， $∣ z - (3 + 4 i) ∣$ 是它到点 $(3, 4)$ 的距离。圆心到 $(3, 4)$ 的距离是 $5$ ，所以距离在 $5 - 1 = 4$ 与 $5 + 1 = 6$ 之间，最大值 $6$ 。

（画面装不下

(3, 4)

，只画单位圆。）把

P

拖到第三象限的

(- 0.6, - 0.8)

附近，它离

(3, 4)

最远。

代价要画图，但最大最小一次看清。

第 2 站 · 方程的根：首项压倒一切

这就是上面的证明。它的骨架是：把一项单独放在等号一边，取模，另一边用三角不等式放大，得出矛盾。同样的手法能证明：若 $∣ a_{i} ∣ < 1$ ，则 $z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{0} = 0$ 的根都满足 $∣ z ∣ < 2$ （取 $A < 1$ 即可）。

第 3 站 · 辐角：赶进半平面

如果 $z_{1}, \dots, z_{n}$ 的辐角都在某个开区间 $(α, α + π)$ 里，那么它们都在一条过原点的直线的同一侧，和也在那一侧，于是

z_{1} + z_{2} + \dots + z_{n} \neq = 0.

反过来用：若 $z_{1} + \dots + z_{n} = 0$ ，这些复数就不可能都挤在一个半平面里，任何一条过原点的直线两侧都有它们。在下面拖动箭头，试着让三个都指向右半平面、同时让和为零——做不到。

首尾相接回到起点时，链条一定有一段“往回走”。

练一练

练习 1基础

复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 1$ ，求 $∣ z + 3 - 4 i ∣$ 的最大值。

练习 2基础

复数 $z$ 满足 $∣ z - 2 i ∣ = 1$ ，求 $∣ z ∣$ 的最小值。

练习 3提高

按本站的方法，方程 $z^{5} + 3 z^{2} - 2 = 0$ 的所有根的模都小于哪个数 $R$ ？（填 $1 + max ∣ a_{i} ∣$ 的值）

练习 4挑战

$∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣ = 1$ ， $∣ z_{1} + z_{2} ∣ = 3$ 。求 $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ 。

一句话

所有根都满足 |z| < 1 + A

第 1 站 · 最值：模就是距离

三角不等式

看成距离

第 2 站 · 方程的根：首项压倒一切

第 3 站 · 辐角：赶进半平面

练一练

错误博物馆 · 本站展品

和的模当成模的和

等号条件记成了“相等”