圆锥曲线的切线和法线

观察

1. 把 $Q$ 拖向 $P$。割线（实线）的斜率在变，它在追哪个数？$Q$ 撞上 $P$ 时两线的夹角是多少？
2. 换成抛物线。过 $P$ 画一条平行于对称轴的水平线：它和抛物线有几个公共点？它是切线吗？
3. 切换到“光学性质”，拖动 $P$。两个读数有什么关系？对三种曲线各试一次。

对圆来说，“和圆只有一个公共点的直线”就是切线。对圆锥曲线这句话不再可靠，所以换一个定义：

过曲线上一点 $P$ 作割线 $PQ$，让 $Q$ 沿曲线趋向 $P$，割线的极限位置叫曲线在 $P$ 点的切线。过 $P$ 且垂直于切线的直线叫法线。

为什么：从割线到切线

以抛物线 $y^2=4x$（$p=2$）上的点 $P(x_0,y_0)$ 为例，图上 $y_0=1.5$。

一般的二次曲线 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ 也适用：$x^2\to x_{0}x$，$y^2\to y_{0}y$，$xy\to \frac{x_{0}y+x{y}_0}{2}$，$x\to \frac{x+x_0}{2}$，$y\to \frac{y+y_0}{2}$。

已知斜率 $k$ 求切线，则设 $y=kx+m$ 代入，令判别式为 $0$。对椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 结果是 $m^2=a^2{k}^2+b^2$。

光学性质

• 椭圆：法线平分 $\angle F_{1}P{F}_2$。从一个焦点射出的光，经椭圆反射后经过另一个焦点。
• 双曲线：切线平分 $\angle F_{1}P{F}_2$。射向一个焦点的光，反射后好像从另一个焦点射出。
• 抛物线：平行于轴射入的光，反射后汇聚到焦点；反过来，焦点处的光源反射后成为平行光——探照灯和卫星天线就用这个性质。

以椭圆为例，理由用定义就够：在切线上任取异于 $P$ 的点 $T$，$T$ 在椭圆外，所以 $|T{F}_1|+|T{F}_2|>2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|$。于是 $P$ 是切线上使“到两焦点距离之和”最小的点。把 $F_2$ 关于切线作对称点 $F_2^{\prime }$，最短路径 $F_{1}P{F}_2^{\prime }$ 是一条直线，所以 $P{F}_1$、$P{F}_2$ 和切线成等角——等价于法线平分 $\angle F_{1}P{F}_2$。

练一练