空间向量

观察

以 $A$ 为原点， $A B$ 、 $A D$ 、 $A A_{1}$ 分别为 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴，长方体的每个顶点都有三个坐标，每个向量 $P Q$ 的坐标就是“终点减起点”。平面上的一切照搬过来，只是多了一个坐标：

u \cdot v = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}, ∣ u ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2} .

立体几何里的三种角于是都能算：

两直线所成的角： $cos θ = \frac{∣ u \cdot v ∣}{∣ u ∣∣ v ∣}$ ；
直线与平面所成的角：先求平面的法向量 $n$ （与平面内两条相交直线都垂直）， $sin φ = \frac{∣ u \cdot n ∣}{∣ u ∣∣ n ∣}$ ；
二面角：两个平面法向量的夹角，或者它的补角（看图判断锐钝）。

先猜后证

正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成的角是多少度？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 4 步

建系，写坐标
棱长取 $2$ 。 $A (0, 0, 0)$ ， $B (2, 0, 0)$ ， $D (0, 2, 0)$ ， $A_{1} (0, 0, 2)$ ， $C_{1} (2, 2, 2)$ 。

$A C_{1} = (2, 2, 2)$
与平面内第一条直线垂直
与第二条直线垂直
线面垂直

法向量的求法：设 $n = (x, y, z)$ ，令它与平面内两个不共线向量的内积都为 $0$ ，解出一组非零解即可（组件里用的是两条边的“叉乘”，结果相同，只差一个倍数）。

Break it

结论： $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$

三条棱相等时， $A C_{1} = (a, a, a)$ ，与 $A_{1} B = (a, 0, - a)$ 、 $A_{1} D = (0, a, - a)$ 的内积都是 $0$ 。

练习 1基础

长方体中 $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $A A_{1} = 1$ 。求 $∣ A C_{1} ∣^{2}$ 。

练习 2基础

$a = (1, - 1, 2)$ ， $b = (2, 1, x)$ ，且 $a ⊥ b$ 。求 $x$ 。

练习 3提高

棱长为 $1$ 的正方体中，体对角线 $A C_{1}$ 与棱 $A B$ 所成的角为 $θ$ 。求 $cos^{2} θ$ 。

练习 4挑战

棱长为 $1$ 的正方体中，求点 $C$ 到平面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离 $d$ 的平方 $d^{2}$ 。