抛物线

观察

平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$ （ $F$ 不在 $l$ 上）距离相等的点的轨迹叫抛物线。 $F$ 是焦点， $l$ 是准线， $p$ 是焦点到准线的距离：

∣ P F ∣ = ∣ P M ∣

先猜后证

抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点 $P$ 的横坐标是 $3$ 。 $P$ 到焦点的距离是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

选坐标系
过 $F$ 作 $l$ 的垂线为 $x$ 轴，垂足 $K$ 与 $F$ 的中点为原点。于是 $F (\frac{p}{2}, 0)$ ，准线 $x = - \frac{p}{2}$ 。图上 $p = 2$ 。

$F (\frac{p}{2}, 0), l : x = - \frac{p}{2}$
到焦点的距离
到准线的距离
相等，平方
通径

开口朝左、朝上、朝下的抛物线，只是把 $x, y$ 互换或变号： $y^{2} = - 2 p x$ ， $x^{2} = 2 p y$ ， $x^{2} = - 2 p y$ （ $p > 0$ ）。一次项是哪个字母，轴就是哪个轴；一次项的符号就是开口方向。

抛物线说的是 $∣ P F ∣ : ∣ P M ∣ = 1$ 。如果把这个比值换成任意正数 $e$ 呢？

焦点和准线不动，只拖离心率

e

。曲线在

e = 1

的前后发生了什么？

先猜后证

焦点与准线固定，把 $e$ 从 $0.6$ 慢慢增大到 $1.4$ 。曲线依次是什么？

椭圆 → 抛物线 → 双曲线双曲线 → 抛物线 → 椭圆始终是抛物线，只是开口变大

先选定答案，才能看到结论。

练习 1基础

求抛物线 $y^{2} = 12 x$ 焦点的横坐标。

练习 2基础

抛物线 $x^{2} = - 8 y$ 的准线是 $y = k$ 。求 $k$ 。

练习 3提高

$F$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $O$ 是原点，抛物线上的点 $P$ 满足 $∣ P F ∣ = 5$ 。求 $△ O P F$ 的面积。

练习 4挑战

过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点作一条直线，交抛物线于 $A, B$ 。线段 $A B$ 中点的横坐标是 $3$ 。求 $∣ A B ∣$ 。