平均值与柯西联手

一句话

均值不等式和柯西不等式都是同一类工具：一个不等号，加一个等号条件。解题时常常要把它们串成一条链

E \leq E_{1} \leq E_{2} \leq \dots \leq M .

$E \leq M$ 一定成立；但 $M$ 是不是最大值，要看有没有一个点让每一环同时取等号。所以选工具的标准不是“哪个能用”，而是“哪种组合的等号条件彼此相容”。

例：x² + y² + z² = 1，求 E = xy + 2yz 的最大值

第 1 / 5 步

两条链
左边一条：先把 $E$ 写成 $y (x + 2 z)$ ，对 $x + 2 z$ 用柯西，再对剩下的乘积用均值，得 $E \leq \frac{5}{2}$ 。右边一条：两次均值，得 $E \leq \frac{3}{2}$ 。两条都是真的不等式。

$E \leq \frac{5}{2} \approx 1.118 E \leq \frac{3}{2}$
先试“三个数相等”
右边的链永远凑不齐
左边：柯西那一环
均值那一环

第 1 站 · 分式：两次均值 vs 一次柯西

$a + b = 1$ ， $a, b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{8}{b}$ 的最小值。

先猜后证

“ $\frac{1}{a} + \frac{8}{b} \geq 2 \frac{8}{ab} \geq 82 \approx 11.31$ ”。最小值是 $82$ 吗？

是不是，真正的最小值更大不是，真正的最小值更小

先选定答案，才能看到结论。

第 2 站 · 对称式：两次均值也可以没问题

等号条件冲突才是错，“用了两次”本身不是错。

一题多解

设 $a, b, c > 0$ 。证明 $(a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9$ 。

均值用两次

$a + b + c \geq 3 3 ab c$ ， $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{3}{3 ab c}$ ，相乘得 $\geq 9$ 。两步的等号条件都是 $a = b = c$ ，可以同时成立，所以 $9$ 是能取到的最小值。

代价两步，但等号条件都是 a = b = c，相容。

柯西一次

取 $(a, b, c)$ 与 $(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})$ ，乘积全是 $1$ ：左边 $\geq (1 + 1 + 1)^{2} = 9$ 。等号要求 $a : \frac{1}{a}$ 全相等，即 $a = b = c$ 。

代价一步到位，等号条件同样是 a = b = c。

第 3 站 · 根式：柯西的几何面孔

$x + y = 4$ ，求 $x^{2} + 1 + y^{2} + 4$ 的最小值。

两项分别是向量 $(x, 1)$ 与 $(y, 2)$ 的长度。由柯西不等式可以推出闵可夫斯基不等式（三角形不等式）： $∣ u ∣ + ∣ v ∣ \geq ∣ u + v ∣$ ，所以

x^{2} + 1 + y^{2} + 4 \geq (x + y)^{2} + (1 + 2)^{2} = 16 + 9 = 5.

等号要求 $(x, 1)$ 与 $(y, 2)$ 同向： $y = 2 x$ ，结合 $x + y = 4$ 得 $x = \frac{4}{3}$ ， $y = \frac{8}{3}$ ，此时 $\frac{5}{3} + \frac{10}{3} = 5$ 。这里若对每个根号单独用均值（比如 $x^{2} + 1 \geq 2 x$ ），等号要 $x = 1$ 和 $y = 2$ ，与 $x + y = 4$ 矛盾——又是一条凑不齐的链。

选工具的口诀：先想等号在哪里（往往能猜出来），再挑一条“每一环的等号都在那一点成立”的链。

练一练

练习 1基础

$a, b > 0$ ， $a + b = 1$ 。求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值。

练习 2基础

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 。求 $3 x y + 4 y z$ 的最大值。

练习 3提高

实数 $x, y$ 满足 $x + y = 4$ 。求 $x^{2} + 1 + y^{2} + 4$ 的最小值。

练习 4挑战

$x, y > 0$ ， $x + y = 1$ 。求 $(x + \frac{1}{x}) (y + \frac{1}{y})$ 的最小值。

一句话

例：x² + y² + z² = 1，求 E = xy + 2yz 的最大值

第 1 站 · 分式：两次均值 vs 一次柯西

第 2 站 · 对称式：两次均值也可以没问题

均值用两次

柯西一次

第 3 站 · 根式：柯西的几何面孔

练一练

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均值用两次，等号条件互相打架