曲线与方程

观察

1. 选“圆心 O、半径 5 的圆”。把 $P$ 拖到 $(3,4)$、$(-4,3)$、$(0,-5)$ 上，灯都亮吗？再拖到圆里面、圆外面，$F(P)$ 是正还是负？
2. 选“两条直线”。$x^2-y^2=0$ 明明只有一个方程，为什么画出来是两条线？（提示：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$。）
3. 选“只有一个点”和“什么也没有”。拖遍整个平面，各能让灯亮几次？
4. 把“显示曲线”关掉，只拖 $P$、只看灯，把亮的点一个个记下来。点记得越多，曲线越清楚——这就是描点法。

在平面直角坐标系里，曲线 $C$ 与方程 $F(x,y)=0$ 之间如果同时满足

• ① 曲线 $C$ 上任何一点的坐标都满足方程 $F(x,y)=0$；
• ② 坐标满足方程 $F(x,y)=0$ 的点都在曲线 $C$ 上，

就说 $F(x,y)=0$ 是曲线 $C$ 的方程，$C$ 是方程的曲线（图形）。①说方程“不漏”曲线上的点，②说方程“不多”出曲线外的点。

为什么：从曲线求方程

求曲线的方程，就是把“点在曲线上”这个几何条件，翻译成坐标 $(x,y)$ 满足的等式。一般步骤是：建立坐标系 → 设曲线上任一点 $P(x,y)$ → 写出 $P$ 满足的条件 → 用坐标表示并化简 → 检查有没有多出来或丢掉的点。

如果只检查了一半

从方程看图形：对称性

拿到一个方程，先别急着描点。用 $-y$ 代 $y$，如果方程不变，那么 $(x,y)$ 在图形上时 $(x,-y)$ 也在，图形关于 $x$ 轴对称；同理，用 $-x$ 代 $x$ 不变则关于 $y$ 轴对称；同时代换不变则关于原点对称。

立方曲线 $y=x^3$ 只关于原点对称：同时代换得 $-y=-x^3$，乘以 $-1$ 就回到原方程。注意，若一条曲线有其中两种对称性，就必然有第三种；但只关于原点对称的曲线，不一定关于坐标轴对称。

练一练