曲线的参数方程

观察

有些曲线， $x$ 和 $y$ 之间的关系很难直接写，但它们各自和第三个量的关系很清楚：抛出的物体，水平位置和高度都由时间决定；圆上的点，横纵坐标都由转过的角决定。把这个量叫做参数 $t$ ，就得到曲线的参数方程

{x = f (t) y = g (t)

要求：每个允许的 $t$ 对应的点都在曲线上，曲线上每个点都至少由一个 $t$ 给出。

参数不一定有物理意义（时间、角度、距离），但选一个有几何意义的参数，题目往往就好做了。下一站专门讲怎么选。

先猜后证

斜抛运动 $x = 5 t, y = 53 t - 5 t^{2}$ 中，物体达到的最大高度是多少？

先选定答案，才能看到结论。

摆线（旋轮线）：半径为 $r$ 的圆沿直线无滑动地滚动，圆周上一个定点 $P$ 的轨迹。直接找 $x$ 、 $y$ 的关系几乎不可能，用转过的角 $t$ 作参数却只要两步。

第 1 / 5 步

用 $t$ 分别管住 $x$ 和 $y$ ，就避开了一个根本写不出来的 $y = F (x)$ （试试从 $x = t - sin t$ 里解出 $t$ ）。

练习 1基础

曲线 $x = 2 + 3 cos t, y = - 1 + 3 sin t$ 是一个圆。求它的圆心到原点的距离的平方。

练习 2基础

直线 $x = 1 + t cos 6 0^{\circ}, y = t sin 6 0^{\circ}$ 上，在点 $P_{0} (1, 0)$ 的左下方、到 $P_{0}$ 距离为 $4$ 的点，横坐标是多少？

练习 3提高

摆线 $x = 2 (t - sin t), y = 2 (1 - cos t)$ 第一拱的最高点横坐标是 $k π$ ，求 $k$ 。

练习 4挑战

以初速度 $20$ 、仰角 $α$ 抛出一个物体（ $g$ 取 $10$ ，不计空气阻力），轨迹为 $x = 20 t cos α, y = 20 t sin α - 5 t^{2}$ 。 $α$ 变化时，水平射程的最大值是多少？